Cercle de Thalès

Cercle de Thalès

Théorème de Thalès (cercle)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Thalès.

Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle. Deux théorèmes portent le nom de théorème de Thalès. Voir théorème de Thalès pour triangles semblables pour l'autre théorème de Thalès.

Un cercle de Thalès est un demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Une sphère de Thalès est une demi-sphère dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Theoreme de Thales.svg

Histoire

Ce théorème est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet.

Démonstration

Dans la figure, les triangles (OAB) et (OBC) sont isocèles de sommet O, donc nous pouvons écrire les égalités suivantes : \widehat{OAB}=\widehat{OBA} et \widehat{OBC}=\widehat{OCB}

(rem: cette propriété est aussi une propriété démontrée par Thalès)

En sommant ces deux égalités, il vient :

\widehat{OAB}+\widehat{OCB}=\widehat{ABC}

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient

\widehat{OAB}+\widehat{OCB}+\widehat{ABC} = 2\widehat{ABC}=180°

puis en divisant par 2 la dernière égalité, on obtient

\widehat{ABC}= 90°

Le triangle est donc bien rectangle en B.

Réciproque

Il existe aussi une réciproque à cette version du théorème de Thalès :

Si ABC est un triangle rectangle en B alors le triangle s'inscrit dans un cercle de diamètre [AC]

Démonstration: on trace la droite passant par le milieu O de [AC] et le milieu A' de [BC]. Comme droite des milieux, elle est parallèle à (AB). Comme (AB) et (BC) sont perpendiculaires, il en est de même de (A'O) et (BC). (A'O) est donc une droite passant par le milieu de [BC] et perpendiculaire à [BC], c'est donc la médiatrice de [BC]. Il suffit de faire le même raisonnement pour la droite passant par O et par C' milieu de [AB] pour prouver que cette droite est la médiatrice de [AB]. Ces deux médiatrices se coupent en O qui est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. Comme O est le milieu de [AC], le cercle a bien pour diamètre [AC]

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Thal%C3%A8s (cercle) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cercle de Thalès de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Thales de Milet — Thalès Pour les articles homonymes, voir Thalès (homonymie). Thalès Naissance …   Wikipédia en Français

  • Thalès de Milet — Thalès Pour les articles homonymes, voir Thalès (homonymie). Thalès Naissance …   Wikipédia en Français

  • Thalês — Thalès Pour les articles homonymes, voir Thalès (homonymie). Thalès Naissance …   Wikipédia en Français

  • Cercle Circonscrit — Cercles circonscrits à des triangles En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle passant par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible. Les sommets… …   Wikipédia en Français

  • Cercle circonscri — Cercle circonscrit Cercles circonscrits à des triangles En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle passant par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone… …   Wikipédia en Français

  • Thalès — Pour les articles homonymes, voir Thalès (homonymie). Thalès (Θαλής) Asie mineure Antiquité …   Wikipédia en Français

  • Cercle — Pour les articles homonymes, voir cercle (homonymie). Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui ci étant infiniment… …   Wikipédia en Français

  • Cercle circonscrit — En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle passant par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible. Les sommets sont alors cocycliques, situés sur un …   Wikipédia en Français

  • Cercle de l'industrie — Le Cercle de l industrie est un lobby patronal français auprès des institutions européennes. Sommaire 1 Création 2 Objectifs 3 Contacts 4 Membres[4],[5] …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Thales (cercle) — Théorème de Thalès (cercle) Pour les articles homonymes, voir Théorème de Thalès. Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie qui affirme qu un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle. Deux …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”