Théorème de synge

Théorème de synge

Théorème de Synge

Le théorème de Synge (1936) est un théorème des plus étonnants de la géométrie riemannienne en courbure positive. Il montre que la topologie d'une variété riemannienne à courbure positive est relativement simple. Il constitue une application devenue classique de la formule de la variation seconde.

Théorème : * Une variété riemannienne complète (M,g) de courbure sectionnelle strictement positive et de dimension paire est simplement connexe si elle est orientable.

  • Elle est le quotient d'une variété riemannienne orientable par une isométrie involutive sans point fixe si elle n'est pas orientable.

En particulier, le groupe fondamental est le groupe trivial ou Z / 2Z.


Démonstrations
Supposons M orientable et raisonnons par l'absurde. Supposons que M ne soit pas simplement connexe. Alors M possède une géodésique fermée minimisant la longueur dans sa classe d'homotopie libre. Soient p: = γ(0) et \theta:T_pM\rightarrow T_pM le transport parallèle le long de γ. Cette application θ est une isométrie linéaire ayant un point fixe, à savoir γ'(0) = γ'(L). Comme la dimension de M est paire, l'orthogonal de γ'(0) est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension impair sur lequel θ définit une isométrie linéaire. En particulier, les questions de réductions montrent l'existence d'un vecteur orthogonal v (choisi unitaire), tel que : θv = v.
Le transport parallèle de v le long de γ donne une section globale V de \gamma^*TM\rightarrow S^1. Introduisons une variation cs de lacets L-périodiques, avec c0 = γ et \partial_sc_s|_{s=0}=V. La formule de la variation seconde donne :
\frac{\partial^2 long c_s}{\partial s^2}=-\int_0^L K(\gamma'(t),V(t))dt< 0
D'où une contradiction avec le choix de γ ! Donc, M est simplement connexe.
Pour la seconde affirmation, il suffit de considérer un revêtement double orientable de M.
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