Théorème de stickelberger

Théorème de Stickelberger

En mathématiques, le théorème de Stickelberger est un résultat de la théorie algébrique des nombres, qui donnent certaines informations sur la structure du module de Galois des groupes de classes des corps cyclotomiques. Il est dû au mathématicien Ludwig Stickelberger (1850 - 1936).

Énoncé

Soit $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ une extension de corps cyclotomique de $\mathbb{Q}$ avec un groupe de Galois $G = \{\sigma_a | a \in (\mathbb Z / m\mathbb Z)^*\}$ , et considérons le groupe d'anneau $\mathbb{Q}[G]$ . Définissons l'élément de Stickelberger $\theta \in \mathbb{Q}[G]$ par

$\theta = \frac 1 m \sum_{1 \le a \le m, (a,m)=1} a \sigma_a^{-1}.$

et prenons $\beta \in \mathbb{Z}[G]$ tel que $\beta\theta \in \mathbb{Z}[G]$ . Alors $\beta\theta\,$ est un annihilateur pour le groupe de classe idéal de $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ , comme module de Galois.

Notez que $\theta\,$ lui-même n'a pas besoin d'être un annihilateur, il faut simplement que tout multiple de celui-ci dans $\mathbb{Z}[G]$ le soit.

Source

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stickelberger's theorem ».

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