- Théorème de Schur
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Pour d'autres théorèmes de Schur, voir Issai Schur.
En mathématiques, le théorème de Schur énonce que, pour toute partition de l'ensemble des entiers strictements positifs en un nombre fini c de parties, l'une des parties contient trois entiers x, y, z tels que :
- x + y = z.
Concrètement, si on attribue une couleur à chaque entier, il existe trois entiers x, y, z de même couleur tels que x + y = z.
Plus précisément, si c est le nombre de couleurs utilisées, il existe un nombre S(c), appelé nombre de Schur, dépendant uniquement de la partition des entiers choisie, tel que le même résultat s'applique à l'ensemble fini {1, ..., S(c)}.
Exemple : avec c=3, et une partition commençant par : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... on obtient S(c) = 14. Car selon la couleur du nombre 14, on prendra : 14 = 1 + 13 ou 14 = 2 + 12 ou 14 = 9 + 5.
Ce résultat peut être considéré comme un exemple de la théorie de Ramsey.
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