Théorème de herbrand-ribet

Théorème de Herbrand-Ribet

Le théorème de Herbrand-Ribet est un renforcement du théorème de Kummer avec pour effet le fait que le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le dénominateur du n-ième nombre de Bernoulli $B_n\,$ pour un certain n, $0 < n < p - 1\,$ . Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, lorsque p divise $B_n\,$ .

Le groupe de Galois $\Sigma\,$ du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, $\mathbb{Q}(\zeta)$ avec $\zeta^p = 1\,$ , est constitué des p - 1 éléments $\sigma_a\,$ , où $\sigma_a\,$ est défini par le fait que $\sigma_a(\zeta) = \zeta^a\,$ . Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques $\mathbb{Z}_p$ , nous avons p - 1 racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet $\omega\,$ (le caractère de Teichmüller) avec des valeurs dans $\mathbb{Z}_p$ en requérant ceci pour n relativement premier à p, $\omega(n) \equiv n \mod{p}\,$ . La partie p du groupe de classes est un $\mathbb{Z}_p$ -module, et nous pouvons appliquer les éléments dans l'anneau $\mathbb{Z}_p[\Sigma]$ vers lui et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme

$\epsilon_n = \frac{1}{p-1}\sum_{a=1}^{p-1} \omega(a) \sigma_a^{-1}\,$ .

Nous pouvons maintenant séparer la partie p du groupe des classes d'idéaux G de $\mathbb{Q}(\zeta)$ par identification des idempotents; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors $G_n = \epsilon_n(G)\,$ .

Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : $G_n\,$ ne contient pas d'élément si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli $B_{p - n}\,$ . La partie exprimant p divise $B_{p - n}\,$ si $G_n\,$ est non trivial est due à Herbrand. La réciproque, si p divise $B_{p - n}\,$ alors $G_n\,$ est non trivial est due à Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci peut être vrai s'il existe une extension non-ramifiée du corps des racines p-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré p qui se comporte d'une manière précise sous l'action de $\Sigma\,$ ; Ribet démontra ceci par une construction concrète d'une telle extension.

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