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Théorème de Herbrand-Ribet
Le théorème de Herbrand-Ribet est un renforcement du théorème de Kummer avec pour effet le fait que le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le dénominateur du n-ième nombre de Bernoulli pour un certain n, . Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, lorsque p divise .
Le groupe de Galois du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, avec , est constitué des p - 1 éléments , où est défini par le fait que . Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques , nous avons p - 1 racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet (le caractère de Teichmüller) avec des valeurs dans en requérant ceci pour n relativement premier à p, . La partie p du groupe de classes est un -module, et nous pouvons appliquer les éléments dans l'anneau vers lui et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme
- .
Nous pouvons maintenant séparer la partie p du groupe des classes d'idéaux G de par identification des idempotents; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors .
Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : ne contient pas d'élément si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli . La partie exprimant p divise si est non trivial est due à Herbrand. La réciproque, si p divise alors est non trivial est due à Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci peut être vrai s'il existe une extension non-ramifiée du corps des racines p-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré p qui se comporte d'une manière précise sous l'action de ; Ribet démontra ceci par une construction concrète d'une telle extension.
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