Théorème de Guldin

On désigne sous le nom de théorème de Guldin deux énoncés de géométrie euclidienne établis par le mathématicien suisse Paul Guldin. Il est probable que ces résultats aient déjà été connus de Pappus d'Alexandrie et c'est pourquoi on rencontre aussi l'appellation de théorème de Pappus-Guldin. Il exprime sous certaines conditions :

l'aire de la surface engendrée par un arc de courbe ;
la mesure du volume engendré par une surface.

Une autre application courante de ce théorème est le calcul de la position du centre de gravité d'un arc de courbe ou d'une surface.

Premier énoncé

Théorème — La mesure de l'aire engendrée par la rotation d'un arc de courbe plane autour d'un axe de son plan ne traversant pas l'arc de courbe est égale au produit de la longueur de l'arc de courbe par la longueur de la circonférence décrite par son centre de gravité :

$\mathcal A = \alpha\cdot d\cdot\ell$

où $α$ est l'angle décrit par la rotation, $d$ est la distance du centre de gravité à l'axe et $\ell$ la longueur de l'arc.

Exemples :

l'aire du tore ouvert de rayons $r$ et $R$ vaut $A = (2π r)(2π R) = 4π 2 r R$
l'aire engendrée par un demi-cercle de rayon $R$ et de centre de gravité $G$ est la sphère d'aire $A = (π R)(2π r G) = 4π R 2$ . Il vient $r_G=\tfrac{2}{\pi}R$ .

Second énoncé

Théorème — La mesure du volume engendré par la révolution d'un élément de surface plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas est égale au produit de l'aire de la surface par la longueur de la circonférence décrite par son centre de gravité :

$\mathcal V=\alpha\cdot d\cdot\mathcal A$

Exemples :

le volume intérieur du tore ouvert de rayons $r$ et $R$ vaut $V = (π r 2)(2π R) = 2π 2 r 2 R$ .
le volume engendré par un demi-disque de rayon $R$ et de centre de gravité $G$ est la boule de mesure $V = (\tfrac{1}{2}\pi R^2)(2\pi r_G) = \tfrac{4}{3}\pi R^3$ . Il vient $r_G=\tfrac{4}{3\pi}R$ .

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