Théorème de Cesàro (théorie des nombres)

Théorème de Cesàro (théorie des nombres)
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec le lemme de Cesàro en analyse de suites.

En théorie des nombres, le théorème de Cesàro, démontré en 1881 par le mathématicien italien Ernesto Cesàro, établit que la probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à 6/π2. Plus précisément :

Pour tout N, on note PN la probabilité que deux nombres entiers inférieurs à N choisis au hasard soient premiers entre eux. On a alors

\lim_{N\to\infty}P_N=\frac6{\pi^2}~.

Démonstration informelle[1] — Il est clair que la probabilité qu'un nombre entier soit divisible par un nombre premier p est 1/p (par exemple, un entier sur 7 est divisible par 7). On en déduit que la probabilité que deux nombres soient tous les deux divisibles par ce nombre est de 1/p2, et la probabilité qu'au moins l'un des deux ne le soit pas est 1-1/p2. Remarquons maintenant que, pour des nombres premiers différents, ces probabilités sont indépendantes (Ceci ne serait en général pas vrai si les entiers n'étaient pas premiers.) La probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est donc donnée par le produit suivant, effectué sur tous les nombres premiers :

\prod_p^\infty\left(1-\frac1{p^2}\right)=\left(\prod_p^\infty\frac1{1-p^{-2}}\right)^{-1}=\frac1{\zeta(2)}=\frac6{\pi^2} ≈ 0,607927102 ≈ 61%.

Ici, \zeta : x \rightarrow \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \dfrac{1}{n^x} désigne la fonction zêta de Riemann, l'égalité entre le produit sur les nombres premiers et ζ(2) est un exemple de produit eulérien, et on doit l'évaluation de ζ(2) = π2/6 à Leonhard Euler, qui a résolu cette question, nommée problème de Bâle, en 1735.

En toute généralité, la probabilité que k entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est 1/ζ(k). La démonstration est la même que ci-dessus, en remplaçant 2 par k.

Note et références

  1. ↑ Pour une preuve plus rigoureuse, cf (en) G. H. Hardy et E. M. Wright (en), An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions] theorem 332



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