Théorème de Boucherot

Méthode de Boucherot

La méthode de Boucherot permet, en régime sinusoïdal de tension et de courant, de calculer la puissance totale consommée par une installation électrique comportant plusieurs dipôles électriques de facteur de puissance divers, ainsi que l'intensité totale appelée.

Cette méthode mise au point par Paul Boucherot, permet de faire des calculs selon un formalisme de type vectoriel sans utiliser la représentation de Fresnel trop lourde lorsque l'on est en présence de nombreux dipôles.

Utilité de la méthode

Dans le cadre d'une étude d'une installation, il faut calculer :

La puissance totale consommée: c’est ce que l’on paie.
L'intensité absorbée: pour le dimensionnement des câbles, disjoncteurs, sectionneur, … et choix de l’abonnement..
Le facteur de puissance global lorsque c'est utile (installations alimentées en haute tension, généralement industrielles).
La valeur des condensateurs s'il y' a lieu d'améliorer ce facteur de puissance.

Mise en œuvre

Pour chaque dipôle $i \,$ on calcule $P_i \,$ et $Q_i \,$
L’installation consomme $P_T = \Sigma P_i \,$ et $Q_T = \Sigma Q_i \,$ .
On en déduit $S_T = \sqrt {P_T^2 + Q_T^2} \,$ , d’où l’intensité totale $I_T = \frac{S_T}{U} \,$ .

En France, pour les installations alimentées en haute tension, la partie de puissance réactive $Q_T \,$ est gratuite à concurrence de $0,4 \cdot P_T \,$ (Décret n° 2002-1014 du 19 juillet 2002 ^[1]). L'excédent est facturé pendant les heures pleines des mois d'hivers. Il est parfois judicieux d'ajouter des condensateurs afin d’obtenir $Q_T \,$ final inférieur à $0,4 \cdot P_T \,$

Régimes sinusoïdaux monophasés

Il est rare que ces installations de faibles puissances nécessitent de faire des calculs de facteurs de puissance (sauf dans les exercices scolaires). Cependant il est parfois utile de pouvoir calculer l'intensité totale absorbée.

La puissance active est soit connue, indiquée par la plaque signalétique du récepteur, soit obtenue à l'aide de la relation :

$P = U \cdot I \cdot \cos \varphi \,$

D'autre part, on utilise les définitions des intermédiaires de calculs suivantes :

La puissance apparente : $S = U \cdot I \,$ ,
La puissance réactive : $Q = U\cdot I \cdot \sin \varphi \,$ ,

puis on applique la méthode ci-dessus.

On peut, au cours des calculs, utiliser les relations suivantes :

$P = S \cdot \cos \varphi \,$ ,
$Q = S\cdot \sin \varphi \,$ ,
$S^2 = P^2 + Q^2 \,$
$\tan \varphi = \frac{Q}{P} \,$

Régimes sinusoïdaux triphasés

La méthode s'applique de la même manière mais on utilise les relations suivantes avec la racine de 3 qui vaut 1,732:

Puissance active: $P = \sqrt {3} \cdot U \cdot I \cdot cos \varphi \,$
Puissance réactive : $Q =\sqrt {3} \cdot U\cdot I \cdot sin \varphi \,$
Puissance apparente : $S = \sqrt {3} \cdot U \cdot I \,$

Installations alimentées en tension sinusoïdale et absorbant des courants non sinusoïdaux

Dans le cas où le courant absorbé n'est pas sinusoïdal, le problème est plus complexe : même si le courant est en phase avec la tension, la puissance n'est pas égale au produit des valeurs efficaces

La tension, sinusoïdale, peut s'écrire

$u(t) = U \sqrt{2} \cdot \cos \omega t \,$

Le courant, non sinusoïdal, peut se décomposer en série, dite série de Fourier :

$i(t) = I_1 \sqrt{2} \cdot \cos (\omega t + \varphi_1) + I_2 \sqrt{2} \cdot \cos (2\omega t + \varphi_2) + ... + I_n \sqrt{2} \cdot \cos (n\omega t + \varphi_n) + ... \,$

Le calcul de la puissance active donne comme résultat :

$P = U \cdot I_1 \cdot cos \varphi_1 \,$

D'autre part la puissance apparente $S \,$ peut s'écrire :

$S =\sqrt { P^2 + Q^2 +D^2} \,$

Avec les définitions des intermédiaires de calcul suivants :

La puissance réactive : $Q = U \cdot I_1 \cdot sin \varphi_1 \,$
La puissance déformante: $D \,$ telle que $D^2 = U_1^2 (I_2^2 + I_3^2 + ... + I_n^2 ) = U_1^2 \cdot I_h^2 \,$

et :

$I_1 \,$ : la valeur efficace du fondamental du courant
$I_h \,$ : la valeur efficace de l'ensemble des harmoniques de rang supérieur à 1 du courant
$\varphi_1 \,$ : la valeur du déphasage du fondamental $i_1(t) \,$ par rapport à la tension.
$cos \varphi_1 \,$ : facteur de déplacement

Détail des calculs

on a : $S^2 =U^2 \cdot I^2 \,$

avec :

$U^2 =U_1^2 \,$

$I^2 =I_1^2 +I_2^2 + ... I_n^2 + ... \,$

d'où :

$S^2 = U^2 \cdot I_1^2 + U^2 \cdot I_2^2+ ... + U^2 \cdot I_n^2+ ... \,$

$S^2 = (U\cdot I_1 \cos \varphi_1)^2 + (U\cdot I_1 \sin \varphi_1)^2 + U^2 \cdot I_2^2+ ... + U^2 \cdot I_n^2+ ... \,$

$S^2 = P^2 + Q^2 + U^2 \cdot ( I_2^2+ ... + I_n^2+ ...) \,$

$S^2 = P^2 + Q^2 + U^2 \cdot I_h^2 \,$

Notes et références

↑ Décret n° 2002-1014 du 19 juillet 2002 fixant les tarifs d'utilisation des réseaux publics de transport et de distribution d'électricité en application de l'article 4 de la loi n° 2000-108 du 10 février 2000 relative à la modernisation et au développement du service public de l'électricité

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Sommaire

Utilité de la méthode

Mise en œuvre

Régimes sinusoïdaux monophasés

Régimes sinusoïdaux triphasés

Installations alimentées en tension sinusoïdale et absorbant des courants non sinusoïdaux

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