- Théorème de Bing
-
Pour les articles homonymes, voir Bing.Le théorème de Bing est une caractérisation de la compacité des espaces métrisables.
Énoncé
Soit X un espace métrisable. Le théorème de Bing affirme l'équivalence des propositions suivantes :
- X est compact ;
- X est complet pour toute distance induisant sa topologie.
Démonstration
Le sens 1 implique 2 est facile : tout espace métrique compact est complet.
La réciproque est le sens "difficile" de ce théorème. On va démontrer la contraposée, pour cela on suppose X non compact pour la topologie induite par une distance d, et on va construire une distance d' topologiquement équivalente à d telle que (X, d' ) ne soit pas complet. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, la non compacité de (X, d) entraîne l'existence d'une suite (xn) n'ayant aucune valeur d'adhérence. Le but est alors de chercher une distance d' équivalente à d, pour laquelle la suite (xn) soit de Cauchy.
Définissons d' comme le sup des écarts e sur X qui sont majorés par d et qui vérifient en outre
.
Par construction d' est un écart, l'application identité de (X,d) dans (X,d') est continue, et la suite (xn) est de Cauchy pour d' . Il reste à prouver que l'application identité de (X,d') dans (X,d) est continue (ce qui justifiera du même coup que (X,d') est séparé donc que d' est bien une distance et pas seulement un écart).
Pour prouver la continuité de l'application identité de (X,d') dans (X,d) en un point quelconque a de X, fixons ε > 0. Le point a n'étant pas un point d'accumulation de la suite (xn), il existe un entier N, que l'on peut choisir supérieur à 1/ε, vérifiant :
Considérons alors la fonction f définie sur X par
, puis l'écart e défini par e(x,y)=|f(x) - f(y)|.Alors
, et pour tous entiers n supérieur ou égal à 1 et p, q supérieurs ou égaux à n on a :- - si n>N alors e(xp,xq)=0,
- - sinon, e(xp,xq) est majoré (comme tous les e(x,y)) par 1/N donc par 1/n.
L'écart e fait donc partie des écarts dont d' est le sup, si bien que pour tout x tel que d' (x,a)< 1/N on a 1/N> e(x,a)=f(x), donc min(ε,d(x,a))<ε, donc d(x,a)<ε, ce qui termine la preuve de la continuité au point a de l'application identité de (X,d') dans (X,d).
Wikimedia Foundation. 2010.
