Théorie mathématique sur le Rubik's Cube

Théorie mathématique sur le Rubik's Cube: Cet article présente le modèle mathématique relatif au Cube de Rubik.

Sommaire

1 Notations utilisées

2 Décomposition des mouvements du cube

2.1 Isomorphisme

2.1.1 Factorisation sommets-arêtes

2.1.2 Permutation des arêtes et des sommets

2.1.3 Orientation des arêtes et des sommets

2.1.4 L'isomorphisme

2.2 Théorème fondamental : caractérisation des mouvements légaux

2.2.1 Démonstration de la partie directe

2.2.1.1

2.2.1.2

2.2.1.3

2.2.2 Démonstration de la réciproque

2.2.2.1 v quelconque,

2.2.2.2 w quelconque,

2.2.2.3 v et w quelconques,

2.2.2.4 r et s quelconques,

2.2.2.5 v,r,w,s quelconques

2.3 Calcul du cardinal du groupe des mouvements du Rubik's Cube

3 Générateurs et relations

4 Lien externe

Notations utilisées

$G \,$ le groupe des mouvements légaux (sans démonter le cube !)

$H \,$ le groupe élargi (ici on peut faire sauter le cube)

$C_n \, = \, \mathbb Z/n\mathbb Z$

$\mathfrak{S}_n \,$ le groupe symétrique d'ordre n

$\rtimes \,$ comme symbole pour le produit semi-direct

$\varepsilon \,$ pour la signature d'une permutation de $\mathfrak{S}_n \,$

$P: \begin{matrix}\mathfrak{S}_n \times C_k^n & \rightarrow & C_k^n \\(s,(x_1,x_2,...x_n)) & \mapsto & (x_{s(1)},x_{s(2)},...x_{s(n)})\end{matrix}$

(où $C_k^n$ désigne $\underbrace{C_k \times C_k \times ... \times C_k}_{n \ fois}$ )

Les rotations d'un quart de tour dans le sens direct sont appelées $R \,$ , $U \,$ , $L \,$ , $F \,$ , $B \,$ , $D \,$ pour les faces droite (right), haut (up), gauche (left), avant (front), arrière (back) et bas (down).

On identifie les sommets par 3 coordonnées et les arêtes par 2 ; par exemple FUL est le sommet de face en haut à gauche et BR est l'arête arrière droite.

$* \,$ l'opérateur de composition (avec $(f*g)(x) = g[f(x)] \,$ ).

$(i,j) = f \in \mathfrak{S}_n : \forall k \in C_n , (k \ne i \ et \ k \ne j \Rightarrow f(k)=k) \ et \ f(i) = j \ et \ f(j)=i$

Décomposition des mouvements du cube

Isomorphisme $\mbox{entre} \, H \,\mbox{et} \, (C_3^8 \rtimes_P \, \mathfrak{S}_8) \times (C_2^{12} \rtimes_P \, \mathfrak{S}_{12})$

Factorisation sommets-arêtes

Un élément de H se décompose naturellement entre ce qu'il fait sur les coins et ce qu'il fait sur les sommets. On introduit les 2 sous-groupes H_co et H_ar constitués des mouvements laissant invariants respectivement les arêtes et les coins. H est isomorphe au produit de groupes $H_\text{co}\times H_\text{ar}$ .

On va maintenant montrer que $H_\text{co}\simeq (C_3^8 \rtimes_P \, \mathfrak{S}_8)$ et $H_\text{ar}\simeq (C_2^{12} \rtimes_P \, \mathfrak{S}_{12})$ .

Permutation des arêtes et des sommets

On numérote les sommets du Rubik's cube de 1 à 8 dans cet ordre : FUR, BUR, BUL, FUL, FDR, BDR, BDL, FDL. Les arêtes vont de 1 à 12 : UL, BL, DL, FL, FU, BU, BD, FD, UR, BR, DR, FR.
On définit alors 2 morphismes surjectifs de groupes $\rho : H_\text{co} \rightarrow \mathfrak{S}_8 \,$ et $\sigma : H_\text{ar} \rightarrow \mathfrak{S}_{12} \,$ qui extraient d'un élément de H les permutations des sommets et des arêtes correspondantes.
En utilisant la notation des cycles, on a $\rho(F) = (1,5,8,4) = (4,8)*(8,5)*(5,1) \,$ et $\rho(U) = (4,3,2,1) = (1,2)*(2,3)*(3,4) \,$ , d'où $\rho(F*U)=(1,5,8,3,2) \,$ . (attention : la notation des cycles est davantage adaptée à la loi $\circ$ : si $f = (1,2,3,4) \,$ , on a $f = (1,2)\circ(2,3)\circ(3,4) = (4,3)*(3,2)*(2,1) \,$ et $f(1)=2 ; f(2) = 3 ; f(3)=4 ; f(4)=1 \,$ )

Orientation des arêtes et des sommets

$\text{Rot}_\text{co} = \ker\, \rho$ et $\text{Rot}_\text{ar} = \ker\, \sigma$ sont 2 sous-groupes importants de H : les rotations des coins et des arêtes (seule l'orientation des cubes change, pas leur position). Ils vont permettre de décomposer H_co et H_ar en produits semi-directs internes. Ainsi $H_\text{co} = \text{Rot}_\text{co} \rtimes \text{Perm}_\text{co}$ , avec Perm_co un sous-groupe de H_co formé des mouvements des coins préservant leur orientation. Perm_co est isomorphe à $\mathfrak{S}_8$ , mais son choix n'est pas unique.

Pour chacun des sommets du cube, on place un marqueur noté $\star$ qui permet de déterminer son orientation. La position exacte des marqueurs est sans importance, il faut juste qu'il y en ait un par coin (c'est le choix de Perm_co) et par face. Voici 2 exemples de tels choix :
Pour les sommets :
Pour les arêtes :
L'orientation sera alors le nombre de rotations de 120° à effectuer sur le cube pour rétablir la place du marqueur $\star \,$ et on définit $\vec{v} \, : \, H \rightarrow C_3^8$ tel que $\vec{v}(g \,)$ soit la réorientation des coins associée au mouvement $g \in H \,$ .

On définit de même l'orientation des arêtes par le nombre de rotations de 180° permettant de rétablir l'orientation initiale : $\vec{w} \, : \, H \rightarrow C_2^{12}$ . On a : $\vec{v}(g*h)= \vec{v}(g) + P(\rho(g)^{-1},\vec{v}(h))$
et $\vec{w}(g*h)= \vec{w}(g) + P(\sigma(g)^{-1},\vec{w}(h))$

Exemple : $\vec{w}(F) = (1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0)$ , $\sigma (F) = (1,6,9,5) \,$ , $\vec{w}(U)=(1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ et $\sigma (U)=(4,3,2,1) \,$
$\Longrightarrow \vec{w}(F*U) = (1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0)$ et $\sigma (F*U)=(1,6,9,5,4,3,2) \,$

L'isomorphisme

Soit $H' \ = \ (C_3^8 \rtimes_P \, \mathfrak{S}_8) \times (C_2^{12} \rtimes_P \, \mathfrak{S}_{12})$ , on définit l'opération $* \,$ par :
$h*h' \ = \ (v,r,w,s)*(v',r',w',s') = (v+P(r^{-1},v'),rr',w+P(s^{-1},w'),ss') \,$ .
L'application $\begin{matrix} \iota : & H & & \rightarrow & \ H' \\ \ & g & & \mapsto \ & (\vec{v}(g),\rho(g),\vec{w}(g),\sigma(g))\end{matrix}$ est un isomorphisme.
En effet, étant donné que
$(\vec{v}(g),\rho(g),\vec{w}(g),\sigma(g))*(\vec{v}(h),\rho(h),\vec{w}(h),\sigma(h))= (\vec{v}(g)+P(\rho(g)^{-1},\vec{v}(h)),\rho(g)\rho(h),\vec{w}(g)+P(\sigma(g)^{-1},\vec{w}(h)),\sigma(g)\sigma(h))$ ,
l'application $ι$ est un morphisme.
De plus, elle est injective car $ker(ι) = I d H$ (en effet si aucun cube n'est déplacé ou réorienté, c'est que le cube est resté invariant !).
Elle est nécessairement surjective car en démontant le cube (on est ici dans le groupe élargi $H \,$ ), on peut parvenir à n'importe quelle configuration du Rubik's Cube.

Théorème fondamental : caractérisation des mouvements légaux

Soit $g \in H, \iota(g) = (v,r,w,s)$ .
$g \in G \Longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a) & \varepsilon(r) & = & \varepsilon(s), \\ b) & \sum_{i=1}^{8} v_i & \equiv & 0 (mod \ 3), \\ c) & \sum_{i=1}^{12} w_i & \equiv & 0 (mod \ 2) \end{matrix} \right.$ .

Démonstration de la partie directe

$\varepsilon(\rho(g))=\varepsilon(\sigma(g)) \,$

Soit $g \in G$ .

On a $r = \rho(g) \,$ et $s = \sigma(g) \,$ . On écrit $g = X_1X_2...X_k \,$ , où $X_i \,$ est un mouvement parmi $R \,$ , $L \,$ , $U \,$ , $F \,$ , $B \,$ et $D \,$ .On démontre que pour chacun de ces mouvements, que $\varepsilon(\rho(X))=\varepsilon(\sigma(X)) \,$ . Étant donné que $\varepsilon \,$ , $\rho \,$ , $\sigma \,$ sont des morphismes, on a alors :
$\varepsilon(r) = \varepsilon(\rho(g)) = \prod_{i=1}^k \varepsilon(\rho(X_i)) = \prod_{i=1}^k \varepsilon(\sigma(X_i)) = \varepsilon(\sigma(X)) = \varepsilon(s)$ .

$\sum_{i=1}^8 v_i \equiv 0 (mod \ 3)$

Vérifions que cette relation est valable pour les six rotations "de base" :

$g \,$ $\vec{v}(g)$

$F \,$ (2,0,0,1,1,0,0,2)

$U \,$ (0,0,0,0,0,0,0,0)

$D \,$ (0,0,0,0,0,0,0,0)

$B \,$ (0,1,2,0,0,2,1,0)

$R \,$ (1,2,0,0,2,1,0,0)

$L \,$ (0,0,1,2,0,0,2,1)

Il est immédiat que $\sum_{i=1}^{8} v_i \equiv 0 (mod \ 3) \Longleftrightarrow \exists P \in S_8 : \sum_{i=1}^{8} v_{P(i)} \equiv 0 (mod \ 3)$ et que si deux familles $(v_i) \,$ et $(v_i') \,$ vérifient b), alors la famille $(v_i + v_i') \,$ vérifie b) également.

On écrit le mouvement g de la même manière que précédemment ( $g = X_1X_2...X_k \,$ ), on suppose de plus qu'il s'agit d'une expression minimale du mouvement (ie on ne peut l'écrire avec moins de mouvements). L'entier k est appelé longueur de g (il s'agit de la distance entre g et l'identité dans le graphe de Cayley de G.)

On peut donc prouver b) par induction sur la longueur du mouvement. La longueur k=1 a déjà été vérifiée (si k = 1, alors $g \in \{R,L,U,F,B,D\}$ ).

Supposons k>1. On a $\vec{v}(X_1X_2...X_{k-1}X_k) = \vec{v}(X_1X_2...X_{k-1}) + P(\rho(X_1X_2...X_{k-1})^{-1},\vec{v}(X_k))$ . $\rho(X_1X_2...X_{k-1}) \,$ étant une permutation de $\mathfrak{S}_n$ , $P(\rho(X_1X_2...X_{k-1})^{-1},\vec{v}(X_k))$ vérifie b), de plus d'après l'hypothèse d'induction, $\vec{v}(X_1X_2...X_{k-1})$ le vérifie également. Comme leur somme le vérifie, on obtient la relation.

$\sum_{i=1}^{12} w_i \equiv 0 (mod \ 2)$

Idem que précédemment en remplaçant $ρ$ par $σ$

Démonstration de la réciproque

Soit $g \in H$ vérifiant les trois points présentés précédemment.

On démontre d'abord la réciproque dans des cas particuliers, pour arriver ensuite au cas général.

v quelconque, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} ; (w_i)_{1\le i \le 12}=(0,0...,0)$

Il existe un mouvement qui tourne deux coins (sans les permuter) et qui préserve l'orientation et la position de chacun des autres cubes. En modifiant ce mouvement, on peut générer l'ensemble des 8-uplets vérifiant b) Certains de ces mouvements seront ajoutés par la suite

w quelconque, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} ; (v_i)_{1\le i \le 8}=(0,0...,0)$

Il est possible de retourner deux arêtes et de laisser le reste invariant. On génère alors l'ensemble des 12-uplets vérifiant c).

v et w quelconques, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} \,$

Soit $g \,$ défini par $(v,id_{[[1,8]]},w,id_{[[1,12]]}) \,$ , $h \,$ et $h' \,$ définis par $(v,id_{[[1,8]]},0,id_{[[1,12]]}) \,$ et $(0,id_{[[1,8]]},w,id_{[[1,12]]}) \,$ .
$\iota(h*h')=(v+P(id^{-1},0),id,0+P(id^{-1},w),id)=\iota(g) \,$ , alors comme $\iota \,$ est bijective, on en déduit $g=h*h' \,$ : c'est la composée de deux mouvements "légaux", donc $g \in G \,$ .

r et s quelconques, $(v_i)_{1\le i \le 8}=(0,0...,0) ; (w_i)_{1\le i \le 12}=(0,0...,0)$

On montre en utilisant la relation a) que ce mouvement appartient à $G \,$

(A approfondir)

v,r,w,s quelconques

Soit $g \,$ vérifiant a) b) et c). Alors $\iota(g)=(v,id,0,id)*(0,id,w,id)*(0,r,0,s) \,$ et chacun de ces trois mouvements est légal, donc $g \in G \,$ .

Calcul du cardinal du groupe des mouvements du Rubik's Cube

On élargit le groupe en supprimant la condition a) par

$G_0=(\{(v,r,w,s) | r \in \mathfrak{S}_8, s \in \mathfrak{S}_{12}, \sum_{i=1}^{8} v_i \equiv 0 \,(mod \, 3), \sum_{i=1}^{12} w_i \equiv 0 \,(mod \, 2) \}$ .
On définit sur $G_0 \,$ l'opération $* \,$ par $(v,r,w,s)*(v',r',w',s')=(v+P(r^{-1},v'),r*r',w+P(s^{-1},w'),s*s') \,$ .
$(G_0,*) \,$ est un groupe :

$* \,$ est interne

l'associativité de $* \,$ :

est évidente pour $r\,$ et $s\,$

découle (pour $v \,$ et $w \,$ ) du fait que $\left\{ \begin{matrix}P(r,a+b) & = & P(r,a)+P(r,b) \\ P(r*r',a) & = & P(r',P(r,a)) \end{matrix} \right.$ (attention à l'opération $* \,$ )

$(0,id,0,id) \,$ est élément neutre

$(-P(r^{-1},v),r^{-1},-P(s^{-1},w),s^{-1}) \,$ est l'inverse de $(v,r,w,s) \,$

$G_0 \,$ est isomorphe à $( \mathcal{C}_3^7 \rtimes \mathfrak{S}_8) \times ( \mathcal{C}_2^{11} \rtimes \mathfrak{S}_{12})$

avec $\mathcal{C}_n^k=\{(v_1,v_2,...,v_k,v_{k+1} | \forall i \in [[1,k+1]], v_i \in [[0,n-1]] \, \mbox{et} \, \sum_{i=1}^{k+1} v_i \equiv 0 \,(mod \, n) \}$ ,
ie $\mathcal{C}_n^k=\{(v_1,v_2,...,v_k,\overline{ \left(-\sum_{i=1}^{k} v_i \right) } \, | \, \forall i \in [[1,k]], v_i \in [[0,n-1]] \}$ , où $\bar x \,$ désigne la classe d'équivalence de x dans $C_n \,$ .
On obtient ainsi $\mathcal C_n^k \cong C_n^k \,$ ,
et on en déduit $card \, G_0 = (card \mathfrak S_8) \times (card \mathfrak S_{12}) \times (card C_3^7) \times (card C_2^{11}) = 8! \times 12! \times 3^7 \times 2^{11} \,$

$G \subset G_0 \,$ et $G = \{(v,r,w,s) \in G_0 \, | \, \varepsilon(r) = \varepsilon(s) \} \,$

Soit $\begin{matrix} f : & G_0 & \rightarrow & \{-1,1\} \\ & (v,r,w,s) & \mapsto & \varepsilon(r)\varepsilon(s) \end{matrix}$ , on a $G=\, ker\, f\,$ .

Montrons que $G \,$ est un sous-groupe normal de $G_0 \,$ .

D'après la caractérisation des sous-groupes, $G \,$ est un sous-groupe de $G_0 \,$ .

$\forall g \in G_0, \forall h \in G, g^{-1}*h*g \in G \,$ .

on a $\rho( g^{-1} * h * g ) \in \mathfrak{S}_8, \sigma( g^{-1} * h * g) \in \mathfrak{S}_{12} \,$ .

comme $g,h \in G_0 \,$ , alors les propriétés b) et c) sont vérifiées par $g^{-1}*h*g \,$ (structure de groupe).

$\begin{matrix} \varepsilon(\rho(g^{-1}*h*g))\varepsilon(\sigma(g^{-1}*h*g)) & = & \varepsilon(\rho(g^{-1}))\varepsilon(\rho(h))\varepsilon(\rho(g))\varepsilon(\sigma(g^{-1}))\varepsilon(\sigma(h))\varepsilon(\sigma(g)) & \mbox{car }\varepsilon,\rho\mbox{ et }\sigma\mbox{ sont des morphismes} \\ & = & \varepsilon(\rho(g^{-1}*g))\varepsilon(\sigma(g^{-1}*g))\varepsilon(\rho(h))\varepsilon(\sigma(h)) & \\ & = & \varepsilon(\rho(h))\varepsilon(\sigma(h)) & \mbox{ car }g^{-1}*g=id \\ & = & 1 & \mbox{ car }h \in G \end{matrix}\,$

Donc $G \rtimes G_0 \,$ , et le groupe quotient $G_0 / G \,$ existe.

Calcul de l'indice de $G \,$ dans $G_0 \,$ :

Soit $\mathcal R$ la relation définie par $\forall (g,g') \in G_0 , g=(v,r,w,s),g'=(v',r',w',s'),$
$g\mathcal Rg' \Leftrightarrow \varepsilon(r)\varepsilon(s)=\varepsilon(r')\varepsilon(s')$
Soit $g = (v,r,w,s)\in G_0 \,$ et $g_1 = (v,\tau*r,w,s) \in G_0$ où $\tau \,$ est une transposition.
Soit $h \in G_0$ , on a $h\mathcal R g \mbox{ ou }h \mathcal R g_1$ , d'où $G_0/G=\{cl(g),cl(g_1)\} \,$ .
On en déduit que l'indice de $G \,$ dans $G_0 \,$ est $[G_0:G] =|G_0/G|=2 \,$ .
D'après le théorème de Lagrange, $|G|=|G_0| / [G_0:G] = \underline{8!12!2^{10}3^7} \,$

Générateurs et relations

Article détaillé : Générateurs et relations dans le groupe du Rubik's Cube.

Lien externe

[html] Le Rubik's Cube, groupe de poche, par P. Colmez

[PDF] "Une analyse du cube hongrois, par Barreau Matthieu

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Rubik's Cube
Théorie des groupes

$g \,$	$\vec{v}(g)$
$F \,$	(2,0,0,1,1,0,0,2)
$U \,$	(0,0,0,0,0,0,0,0)
$D \,$	(0,0,0,0,0,0,0,0)
$B \,$	(0,1,2,0,0,2,1,0)
$R \,$	(1,2,0,0,2,1,0,0)
$L \,$	(0,0,1,2,0,0,2,1)

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorie mathématique sur le Rubik's Cube de Wikipédia en français (auteurs)

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Théorie mathématique sur le Rubik's Cube

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Notations utilisées

Décomposition des mouvements du cube

Isomorphisme $\mbox{entre} \, H \,\mbox{et} \, (C_3^8 \rtimes_P \, \mathfrak{S}_8) \times (C_2^{12} \rtimes_P \, \mathfrak{S}_{12})$

Factorisation sommets-arêtes

Permutation des arêtes et des sommets

Orientation des arêtes et des sommets

L'isomorphisme

Théorème fondamental : caractérisation des mouvements légaux

Démonstration de la partie directe

$\varepsilon(\rho(g))=\varepsilon(\sigma(g)) \,$

$\sum_{i=1}^8 v_i \equiv 0 (mod \ 3)$

$\sum_{i=1}^{12} w_i \equiv 0 (mod \ 2)$

Démonstration de la réciproque

v quelconque, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} ; (w_i)_{1\le i \le 12}=(0,0...,0)$

w quelconque, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} ; (v_i)_{1\le i \le 8}=(0,0...,0)$

v et w quelconques, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} \,$

r et s quelconques, $(v_i)_{1\le i \le 8}=(0,0...,0) ; (w_i)_{1\le i \le 12}=(0,0...,0)$

v,r,w,s quelconques

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Décomposition des mouvements du cube

Isomorphisme

Factorisation sommets-arêtes

Permutation des arêtes et des sommets

Orientation des arêtes et des sommets

L'isomorphisme

Théorème fondamental : caractérisation des mouvements légaux

Démonstration de la partie directe

Démonstration de la réciproque

v quelconque,

w quelconque,

v et w quelconques,

r et s quelconques,

v,r,w,s quelconques

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Générateurs et relations

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Isomorphisme $\mbox{entre} \, H \,\mbox{et} \, (C_3^8 \rtimes_P \, \mathfrak{S}_8) \times (C_2^{12} \rtimes_P \, \mathfrak{S}_{12})$

v quelconque, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} ; (w_i)_{1\le i \le 12}=(0,0...,0)$

w quelconque, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} ; (v_i)_{1\le i \le 8}=(0,0...,0)$

v et w quelconques, $r=id_{[[1,8]]} ; s=id_{[[1;12]]} \,$

r et s quelconques, $(v_i)_{1\le i \le 8}=(0,0...,0) ; (w_i)_{1\le i \le 12}=(0,0...,0)$