Théoreme de Hall

Théoreme de Hall

Théorème de Hall

Le théorème de Hall donne une condition nécessaire et suffisante à l'existence d'un couplage parfait dans un graphe biparti (un couplage parfait dans un graphe ayant un nombre pair 2n de sommets est un sous-ensemble de n arêtes deux-à-deux disjointes du graphe, ainsi chaque sommet du graphe est incident à exactement une arête du couplage).

Théorème de Hall (1935) - Un graphe biparti G=(U,V;E) admet un couplage parfait si et seulement si pour tout sous-ensemble X de U (de V, respectivement), le nombre de sommets de V (de U, respectivement) adjacents à un sommet de X est supérieur ou égal à la cardinalité de X.

Ce résultat généralise le fait, déjà remarqué en 1914 par König, que les graphes bipartis réguliers (c'est-à-dire k-régulier pour un entier k, ceci voulant dire que chaque sommet du graphe est incident à exactement k arêtes) admettent un couplage parfait. Par-ailleurs, le théorème de Tutte généralise celui de Hall par une condition nécessaire et suffisante pour tous les graphes. Le Théorème de Hall est en fait un cas particulier du Théorème flot-max/coupe-min, dans les graphes constitués d'un graphe biparti G=(U,V;E) plus un sommet source et un sommet puits, la source étant relié à tous les sommets de U tandis que tous les sommets de V sont reliés au sommet puits.

Le Théorème de Hall n'est pas difficile à montrer (il en existe au-moins trois courtes preuves voir les références).

L'intérêt (a posteriori) du théorème est de fournir un problème de décision dans NP, en l'occurrence déterminer si un graphe admet ou non un couplage parfait, qui est à la fois dans co-NP, puisqu'à l'aide d'un ensemble X violant la condition, on peut vérifier en temps polynomial que son voisinage N(X) est tel que |N(X)|<|X|, et donc convaincre que la réponse au problème de décision est négative.

Références

Graph Theory with Applications, J.A. Bondy and U.S.R. Murty, pour l'usage personnel libre sur http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/bondy.html

Graph Theory, de Reinhard Diestel, libre en version électronique à http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/GraphTheoryIII.counted.pdf).

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Hall ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théoreme de Hall de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème de hall — Le théorème de Hall donne une condition nécessaire et suffisante à l existence d un couplage parfait dans un graphe biparti (un couplage parfait dans un graphe ayant un nombre pair 2n de sommets est un sous ensemble de n arêtes deux à deux… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Hall —  Ne pas confondre avec le théorème de Hall en théorie des groupes, ni avec le problème des ménages. En mathématiques, le théorème de Hall ou lemme des mariages est un résultat combinatoire qui donne une condition nécessaire et suffisante,… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme flot-max/coupe-min — Théorème flot max/coupe min Le théorème flot max/coupe min est un théorème de la théorie des graphes. Il généralise le théorème de König et le théorème de Hall (dans les graphes bipartis) et le théorème de Menger (dans les graphes quelconques).… …   Wikipédia en Français

  • Théorème flot-max/coupe-min — Le théorème flot max/coupe min est un théorème de la théorie des graphes. Il généralise le théorème de König et le théorème de Hall (dans les graphes bipartis) et le théorème de Menger (dans les graphes quelconques). Il révèle que le calcul d une …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Maschke — Théorème de Maschke Heinrich Maschke En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Maschke est un des théorèmes fondamentaux de la théorie de la représentation des groupes. Ce théorème permet, si la caractéristique du corps est… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de maschke — Heinrich Maschke En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Maschke est un des théorèmes fondamentaux de la théorie de la représentation des groupes. Ce théorème permet, si la caractéristique du corps est soit nulle soit… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Burnside (probleme de 1902) — Théorème de Burnside (problème de 1902) William Burnside En mathématiques, et plus précisément dans le contexte de la théorie des groupes finis, le théorème de Burnside traite des représentations d un groupe répondant aux critères du problème de… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des quatre sommets — Théorème des quatre sommets Une ellipse (en rouge) et sa développée (en bleu), montrant les 4 sommets annulant k , chacun d eux correspondant à un cusp de la développée. Le théorème des 4 sommets consititue un résultat remarquable de géométrie… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Burnside (problème de Burnside 1902) — Théorème de Burnside (problème de 1902) William Burnside En mathématiques, et plus précisément dans le contexte de la théorie des groupes finis, le théorème de Burnside traite des représentations d un groupe répondant aux critères du problème de… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de burnside (problème de 1902) — William Burnside En mathématiques, et plus précisément dans le contexte de la théorie des groupes finis, le théorème de Burnside traite des représentations d un groupe répondant aux critères du problème de Burnside. Ce théorème stipule que toute… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”