Théorème de composition des limites

Théorème de composition des limites

En mathématiques, le théorème de composition des limites est un théorème de base de l'analyse réelle. Elle permet d'exprimer une limite d'une fonction composée en fonction des limites des fonctions la composant.

Enoncé

Théorème —  Soient f une application de I dans ℝ, g une application de J dans ℝ où I et J sont deux intervalles de ℝ contenant au moins deux points (c'est-à-dire d'intérieur non vide) et tels que f(I) soit inclus dans J. Soit a un point ou une extrémité de I.

On suppose que

\lim_{x \to a} f(x)=\ell

où ℓ est un point ou une extrémité de J et que

\lim_{x \to \ell} g(x)=\ell'\in \R\cup\{-\infty,+\infty\}.

Alors

\lim_{x \to a} (g\circ f)(x)=\ell'.
Démonstration

Elle s'adapte à chaque cas (selon si a ou \ell ou \ell' sont des extrémités ou non, puis lesquelles). Traitons l'exemple pour a réel, \ell=+\infty et \ell'=-\infty.

Comme

\lim_{x \to a} f(x)=+\infty;

pour tout γ réel, il existe α > 0 tel que pour tout x\in I

|x-a|<\alpha \Longrightarrow f(x)>\gamma.

Comme a est un point ou une extrémité de I, il existe x_0 \in I tel que | x0 − a | < α. On a donc f(x_0) \in J >\gamma. Donc pour tout γ réel, il existe y \in J tel que y > γ. Donc comme c'est un intervalle, J est du type [\omega,+\infty].

Montrons maintenant que

\lim_{x \to a} (g\circ f)(x)=-\infty.

Par la deuxième hypothèse on peut se donner A un réel puis B un réel tel que pour tout x \in J

x>B \Longrightarrow g(x)<A.

Soit C un réel positif tel que pour tout x \in I

|x-a|<C \Longrightarrow f(x)>B.

On a alors pour tout x \in I

|x-a|<C \Longrightarrow g(f(x))<A;

d'où le résultat.

Exemple

Calculons

\lim_{x \to +\infty} \ln \left( \frac{1}{x} \right).

Le domaine d'arrivée de la fonction inverse, restreinte aux réels positifs est bien contenu dans le domaine de définition du logarithme naturel. Clairement on a

\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}=0.

On calcule donc la limite de ln  à la limite trouvée précédemment:

\lim_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty.

Finalement, on a

\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{1}{x} \right)=-\infty.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de composition des limites de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de composition des limites — Théorème de composition des limites En mathématiques, le théorème de composition des limites est un théorème de base de l analyse réelle. Elle permet d exprimer une limite d une fonction composée en fonction des limites des fonctions la composant …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Opérations sur les limites — Cette page est une annexe de l article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition... Tous les résultats listés ici sont valables à… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Baire-Brenef — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Lichtenstein — Théorie des figures d équilibre La théorie des figures d équilibre considérée ici résulte de nombreuses études traitant du problème de la forme d équilibre de la Terre, en supposant que celle ci soit causée par la seule force de pesanteur, à l… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Poincaré-Wavre — Théorie des figures d équilibre La théorie des figures d équilibre considérée ici résulte de nombreuses études traitant du problème de la forme d équilibre de la Terre, en supposant que celle ci soit causée par la seule force de pesanteur, à l… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Wavre-Poincaré — Théorie des figures d équilibre La théorie des figures d équilibre considérée ici résulte de nombreuses études traitant du problème de la forme d équilibre de la Terre, en supposant que celle ci soit causée par la seule force de pesanteur, à l… …   Wikipédia en Français

  • Développements Limités — Développement limité En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d une fonction f au voisinage d un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c est à dire l écriture de cette fonction sous la …   Wikipédia en Français

  • Développements limités — Développement limité En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d une fonction f au voisinage d un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c est à dire l écriture de cette fonction sous la …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”