Taux d'amortissement

Le taux d'amortissement (damping ratio) est une grandeur sans dimension caractérisant l'évolution et la décroissance au cours du temps des oscillations d'un système physique. Il prend en compte notamment l'effet des frottements et la nature des matériaux. Il dépend de la température. Le taux d'amortissement permet notamment de déterminer complètement la nature du régime transitoire du système.

Cas de l'oscillateur harmonique amorti

Différents régimes de retour à l'équilibre d'un système en fonction de la valeur du taux d'amortissement ζ. On observe les régimes apériodique (ζ>1), critique (ζ=1), pseudo-périodique (ζ<1) et harmonique (ζ=0). La courbe représente les oscillations (x(t)) relatives à la position de départ (x(0)) d'un oscillateur mécanique à une dimension sans vitesse initiale. ω₀ est la pulsation propre du système.

Pour un oscillateur harmonique amorti, constitué d'une masse m, amorti par frottement fluide de coefficient c et soumis à une force de rappel élastique de constante de raideur k, l'équation différentielle modélisant le comportement de l'oscillateur est :

$m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + k x = 0$ .

Il est possible de réécrire cette équation sous la forme canonique :

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \zeta \omega_0 \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$ ,

où $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ est la pulsation propre de l'oscillateur harmonique et $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{k m}}$ est le taux d'amortissement.

On résout le polynôme caractéristique associé :

$\omega^2 + 2 \zeta \omega_0 \omega + \omega_0^2 = 0$ .

D'où $\omega = \omega_0(- \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})$ .

Différents régimes

Périodique : si ω est purement imaginaire, la solution est une sinusoïde de la forme $e^{\pm j \omega_0 t}$ . Ceci correspond au cas d'un oscillateur harmonique. Il apparaît pour le cas limite $ζ = 0$ .

Pseudo-périodique : si ω est complexe, la solution est le produit d'une exponentielle décroissante et d'une sinusoïde de la forme $e^{\omega_0(- \zeta \pm j \sqrt{1 - \zeta^2}) t}$ . Ce phénomène apparaît pour $ζ < 1$ .

Apériodique critique : c'est la frontière entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. C'est souvent la solution optimale à un problème d'oscillations amorties. Il apparaît pour le cas limite $ζ = 1$ .

Apériodique : si ω est réelle, la solution est simplement une exponentielle décroissante sans oscillation. Il apparaît pour le cas $ζ > 1$ .

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