Série de Lambert

Série de Lambert
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En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Johann Heinrich Lambert, est une série prenant la forme

S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}\,

Elle peut être reprise formellement en développant le dénominateur :

S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de {a_n}\, avec la fonction constante 1(n)=1\,:

b_m = (a*1)(m) = \sum_{n|m} a_n\,

Puisque cette dernière somme est une somme typique de la théorie des nombres, presque toute fonction multiplicative sera exactement sommable en utilisant une série de Lambert. Ainsi, par exemple, on a

\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_0(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^n}{1-q^n}

où \sigma_0(n)=d(n)\, est le nombre de diviseurs positifs du nombre n\,.

Pour les fonctions sigma d'ordre plus élevé, on a

\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_\alpha(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^\alpha q^n}{1-q^n}

où \alpha\, est un nombre complexe et

\sigma_\alpha(n) = (\textrm{Id}_\alpha*1)(n) = \sum_{d|n} d^\alpha\,

est la fonction diviseur.

Les séries de Lambert dans lesquelles les a_n\, sont des fonctions trigonométriques, par exemple, a_n=\sin(2n x)\,, peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.

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