Système masse-ressort

Système masse-ressort

Un système masse-ressort est un système mécanique à un degré de liberté. Il est constitué par une masse accrochée à un ressort contrainte de se déplacer dans une seule direction. Son mouvement est dû à trois forces :

  • une force de rappel FR,
  • une force d'amortissement FA,
  • une force extérieure FE.

Le système masse-ressort est un sujet d'étude simple dans le cadre des oscillateurs harmoniques.

Sommaire

Oscillations rectilignes d'une masse soumise à l'action d'un ressort

Mouvement horizontal
Oscillation verticale

On peut mettre en oscillation une masse soumise à l'action d'un ressort. Ces oscillations peuvent être, suivant les cas, des oscillations verticales ou des oscillations horizontales (en utilisant un dispositif permettant de minimiser les frottements sur le support).

Dans les deux cas, les oscillations sont harmoniques : la fonction du temps [x(t)] de la position de la masse de part et d'autre de la position d'équilibre (statique) est une fonction sinus. Dans le cas de l'oscillateur vertical, l'effet de la pesanteur n'introduit qu'une translation de la position d'équilibre statique. La relation déduite de l'application du théorème du centre d'inertie peut s'écrire :

\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2 x = 0, avec \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

ω0 est appelée pulsation propre de l'oscillateur harmonique. Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme x = x0sin(ω0t + φ), ce qui est caractéristique d'un oscillateur harmonique.

La période est indépendante de l’amplitude (isochronisme des oscillations) : elle ne dépend que de l'inertie du système (masse m) et de la caractéristique de la force de rappel (constante de raideur k du ressort) : T = 2\pi\cdot\sqrt\frac{m}{k}

Remarque : cet oscillateur est soumis à la conservation de l'énergie mécanique : celle-ci est de la forme \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E_0
En dérivant membre à membre l'équation par rapport au temps on retrouve l'équation différentielle précédente.

Amélioration

Ce qui précède est valable si la masse du ressort est négligeable par rapport à celle de la masse qui oscille. L'expérience montre que la période est plus proche de :

T = 2\pi\cdot\sqrt\frac{m + \mu/3}{k}

où {\mu\;/3} = le tiers de la masse du ressort ;
{m\;} = la masse suspendue au ressort ;
\ ~ {k\;} = la constante élastique ou raideur du ressort.

Autre amélioration

Ceci est de nouveau une approximation. Une étude complète se trouve dans les liens externes. Chercher : « Étude de la période d'oscillation d'un ressort ».
On montre que la période correcte d'oscillation est :

T = \frac{2\pi}{\Omega} \cdot \sqrt \frac{\mu}{k}

où \quad \Omega\; \quad est défini par la relation : \quad \Omega \cdot \tan ( \Omega ) = \frac{\mu}{m}
{\mu\;} = la masse du ressort ;
{m\;} = la masse suspendue au ressort ;
\ ~ {k\;} = la constante élastique ou raideur du ressort.

Une manière de calculer \quad \Omega\quad est d'itérer : \quad \Omega = \arctan \left(\frac{\mu}{m \cdot \Omega}\right) en commençant par : \quad \Omega = \sqrt \frac{\mu}{m + \mu / 3}

Frottements

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes


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