Superalgèbre de Lie

Superalgèbre de Lie

Une superalgèbre de Lie est une extension de la notion d'algèbre de Lie. C'est la donnée d'un espace vectoriel E=E_0 \oplus E_1 muni d'une gradation \mathbb{Z}_2 σ (compatible avec la précédente décomposition), d'un supercrochet de Lie \{.,.\}:E\times E\rightarrow E\, vérifiant

\forall x,y \in E_0 \bigsqcup E_1 \quad \left\{x,y\right\} = -(-1)^{\sigma(x)\sigma(y)}\left\{y,x\right\}

ainsi que la relation de superJacobi

\forall x,y,z \in E_0 \bigsqcup E_1 \quad (-1)^{\sigma(x)\sigma(z)}\left\{x,\left\{y,z\right\}\right\}+(-1)^{\sigma(y)\sigma(x)}\left\{y,\left\{z,x\right\}\right\}+(-1)^{\sigma(z)\sigma(y)}\left\{z,\left\{x,y\right\}\right\} = 0

Ces relations s'étendent ensuite sur tout E par bilinéarité.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Superalgèbre de Lie de Wikipédia en français (auteurs)

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