Structure presque complexe

Structure presque complexe

En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur chaque espace tangent.

Sommaire

Définition formelle

Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, id est une section globale du fibré vectoriel End(TM), vérifiant :

\forall x\in M,J_x^2=-Id

Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...

Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle-seule ne suffit pas :

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de GL(2n,R) à GL(n,C).

Exemples

Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :

  • La sphère S2, vue comme le compactifié de ℂ.
  • La sphère S6, vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.

Formes différentielles

Algèbre linéaire : un opérateur linéaire A\in GL(n,R) vérifiant l'identité A2 = − Id se réduit sur C^n=R^n\otimes C. Il admet deux espaces propres, E + et E − , de valeurs propres respectives i et − i.

Structures presque complexes :

TM\otimes C=T^+M\oplus T^-M

Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent.

\Omega^r(M)\otimes C=\bigoplus_{r+q=p} \Omega^{r,q}(M)

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Structure presque complexe de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Structure presque quaternionique — En mathématiques, une structure presque quaternionique sur une variété différentielle réelle est une donnée visant à associer à son fibré tangent une structure d espace vectoriel sur le corps[1] des quaternions. Sa définition a varié depuis le… …   Wikipédia en Français

  • Complexe simplicial — Pour les articles homonymes, voir Complexe. Représentation d un complexe simplicial. En mathématiques, un complexe simplicial est un objet géométri …   Wikipédia en Français

  • structure — [ stryktyr ] n. f. • 1528; « construction » XIVe; lat. structura, de struere « construire » 1 ♦ Manière dont un édifice est construit; agencement des parties d un bâtiment. ⇒aussi superstructure. « L immobile structure des cathédrales »… …   Encyclopédie Universelle

  • structuré — structure [ stryktyr ] n. f. • 1528; « construction » XIVe; lat. structura, de struere « construire » 1 ♦ Manière dont un édifice est construit; agencement des parties d un bâtiment. ⇒aussi superstructure. « L immobile structure des cathédrales » …   Encyclopédie Universelle

  • STRUCTURE ET FONCTION — L’étude de la relation entre les structures et les fonctions est au cœur même de la biologie. Cette relation s’exprime chez les êtres vivants par l’adaptation des premières aux secondes et pose une série de problèmes absolument fondamentaux,… …   Encyclopédie Universelle

  • complexe — [ kɔ̃plɛks ] adj. et n. m. • XIVe ; lat. complexus, de complecti « contenir » I ♦ Adj. 1 ♦ Qui contient, qui réunit plusieurs éléments différents. Question, problème complexe. « Hamlet est un personnage parfaitement humain, parce que complexe »… …   Encyclopédie Universelle

  • complexé — complexe [ kɔ̃plɛks ] adj. et n. m. • XIVe ; lat. complexus, de complecti « contenir » I ♦ Adj. 1 ♦ Qui contient, qui réunit plusieurs éléments différents. Question, problème complexe. « Hamlet est un personnage parfaitement humain, parce que… …   Encyclopédie Universelle

  • Structure algebrique — Structure algébrique En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d être formée d’un ensemble combiné à une ou… …   Wikipédia en Français

  • Structure (pedologie) — Structure (pédologie) Pour les articles homonymes, voir Structure. En pédologie, la structure est la façon selon laquelle s’arrangent naturellement et durablement les particules élémentaires en formant ou non des agrégats[1]. L’agrégat est le… …   Wikipédia en Français

  • Structure algébrique — En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”