Statistiques elementaires continues

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Statistiques élémentaires continues

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Arithmétique
Probabilités
Statistiques

Dans une enquête statistique, lorsque le caractère statistique peut prendre des valeurs multiples (taille, superficie, salaire…) le caractère statistique est considéré comme continu.

Sommaire

Traitement des données

Lorsque les résultats de l'enquête statistique sont trop nombreux pour que la liste triée des valeurs soit lisible, on préfère perdre de l'information et ranger les données par intervalles appelés classes. Il faut alors que, dans chaque classe, la répartition des valeurs soit régulière. Sinon, il faut affiner et prendre des classes plus petites. Il n'est pas indispensable que les classes soient de même amplitude, mais il est préférable de ne pas définir de classes de la forme « plus de ... » qui empêcherait alors tout traitement ultérieur (histogramme, moyenne...). On compte alors le nombre de fois où la valeur du caractère tombe dans l'intervalle [xi;xi + 1[, ce nombre est appelé effectif de la classe [xi;xi + 1[.

Exemple de tableau statistique à classes : Répartition des revenus annuels en milliers d'euros dans une population de 4370 personnes.

Salaires entre 0 (inclus)
et 8 (exclus)		 entre 8 (inclus)
et 12 (exclus)		 entre 12 (inclus)
et 16 (exclus)		 entre 16 (inclus)
et 20 (exclus)		 entre 20 (inclus)
et 30 (exclus)		 entre 30 (inclus)
et 40 (exclus)		 entre 40 (inclus)
et 60 (exclus)		 Total
Effectifs 306 231 385 1180 1468 568 232 4370

Les effectifs ici sont trop grands pour que l'on puisse se faire une idée simple de la répartition, on préfère alors travailler en pourcentages ou fréquences et se ramener ainsi à une population de 100 pour les pourcentages ou de 1 pour les fréquences.

Salaires entre 0 (inclus)
et 8 (exclus)		 entre 8 (inclus)
et 12 (exclus)		 entre 12 (inclus)
et 16 (exclus)		 entre 16 (inclus)
et 20 (exclus)		 entre 20 (inclus)
et 30 (exclus)		 entre 30 (inclus)
et 40 (exclus)		 entre 40 (inclus)
et 60 (exclus)		 Total
Fréquences 0,07 0,05 0,09 0,27 0,34 0,13 0,05 1

Moyenne

Puisque l’on a estimé que la répartition dans chaque classe était régulière, on peut affirmer que le milieu de la classe est représentatif de la classe. On va donc remplacer les ni individus de la classe [xi;xi + 1[ par ni individus dont le caractère statistique prendrait la valeur m_i = \frac{x_i+x_{i+1}}{2}. Puis on calcule la moyenne comme dans le cadre de la variable discrète :

Salaires entre 0 (inclus)
et 8 (exclus)		 entre 8 (inclus)
et 12 (exclus)		 entre 12 (inclus)
et 16 (exclus)		 entre 16 (inclus)
et 20 (exclus)		 entre 20 (inclus)
et 30 (exclus)		 entre 30 (inclus)
et 40 (exclus)		 entre 40 (inclus)
et 60 (exclus)		 Total
Effectifs 306 231 385 1180 1468 568 232 4370
Salaire moyen
de chaque classe		 4 10 14 18 25 35 50 total des salaires
Total des salaires
de chaque classe		 1224 2310 5390 21240 36700 19880 11600 98344

Le salaire moyen parmi cet échantillon est donc de 98344/4370 = 22,5 soit environ 22500 Euros annuels.

La formule utilisée ici est : \overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N n_im_i}{\sum_{i=1}^N n_i}

La moyenne est un des critères de position.

Représentations graphiques

Histogramme

Pour représenter graphiquement cette enquête statistique, le diagramme en bâtons est inapproprié. En effet, plus la classe est grande, plus l'effectif risque d'être important. Il faut donc représenter l'effectif de chaque classe par un rectangle dont la base est l'amplitude de la classe et dont l'aire est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence. Ce diagramme s'appelle un histogramme.

Exemple: si 1% est représenté par 1 carreau unité.

Salaires entre 0 (inclus)
et 8 (exclus)		 entre 8 (inclus)
et 12 (exclus)		 entre 12 (inclus)
et 16 (exclus)		 entre 16 (inclus)
et 20 (exclus)		 entre 20 (inclus)
et 30 (exclus)		 entre 30 (inclus)
et 40 (exclus)		 entre 40 (inclus)
et 60 (exclus)
Fréquences 0,07 0,05 0,09 0,27 0,34 0,13 0,05
Amplitudes
ai = xi + 1 − xi		 8 4 4 4 10 10 20
Hauteurs
hi = fi / ai		 0,9 1,3 2,2 6,8 3,4 1,3 0,3

Il ne reste plus qu'à tracer l'histogramme:

Histogramme2.png

Remarque : si les amplitudes des classes sont identiques, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences.

Polygone des fréquences cumulées

Puisque la répartition dans chaque classe est supposée régulière, on peut admettre que l'accroissement des pourcentages est une fonction linéaire. On trace alors le polygone des pourcentages cumulés croissants qui permet de lire le pourcentage de la classe [x1;x] pour tout x.

Au préalable, il faut remplir le tableau des pourcentages cumulés:

xi 0 8 12 16 20 30 40 60
Pourcentages cumulés croissants 0 7 12,3 21,1 48,1 81,7 94,7 100

Il ne reste plus qu'à tracer le polygone:

Polygone des pourcentages cumulés croissants

On peut construire de même le polygone des pourcentages cumulés décroissants.

Variance et écart type

Les formules précédemment établies pour les variables discrètes restent valables à condition de remplacer xi par mi milieu de la classe [xi;xi + 1[:

  • V = \sum_{i=1}^Nf_i(m_i-\overline{x})^2 où fi est la fréquence, mi le milieu de la classe et \overline{x} la moyenne.
  • \sigma = \sqrt{V}

L'écart type est un des critères de dispersion

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
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