Cosinus intégral

Cosinus intégral

La fonction cosinus intégral, notée Ci est définie par l'intégrale :

\forall x > 0,\ \mathrm{Ci}(x) = -\int_{x}^\infty \frac{\cos(t)}{t} \mathrm{d}t

où la fonction cos est la fonction cosinus.

Propriétés

  • La fonction est continue, infiniment dérivable sur \mathbb{R}^{+*}, et
\forall x \in \mathbb{R}^{+*},\ \mathrm{Ci}'(x) = \frac{\cos(x)}{x}
  • \lim_{x \to +\infty} \mathrm{Ci}(x)= 0
  • La fonction Ci admet le développement suivant sur \mathbb{R}^{+*} :
\forall x \in \mathbb{R}^{+*},\ \mathrm{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni. Ce développement permet d'étendre la fonction Ci en une fonction analytique définie sur tout le plan complexe privé de la demi-droite des réels négatifs. La somme de la série vaut également \int_0^x \frac{\cos(t)-1}{t} \mathrm{d}t.

Voir aussi

Bibiographie


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cosinus intégral de Wikipédia en français (auteurs)

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