Décalage de Bernoulli (mathématiques)

Décalage de Bernoulli (mathématiques)
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Décalage de Bernoulli.
Diagramme (x,y) où x=x_0 \in [0, 1[ est rationnel et y = xn pour toutes les valeurs de n.

Le décalage de Bernoulli (également connu comme fonction dyadique ou fonction 2x mod 1) est l'application

d: [0, 1[ \to \R^\infty
x \mapsto (x_0, x_1, x_2, \ldots)

produite par la règle

x0 = x
\forall n \ge 0, x_{n+1} = (2 \cdot x_n) \mod 1.

De façon équivalente, le décalage de Bernoulli peut également être défini comme la fonction itérée de la fonction affine par parties

f(x)=\begin{cases}2x & si \ 0 \le x < 0,5 \\2x-1 & si \ 0,5 \le x < 1 \end{cases}

Le décalage de Bernoulli fournit un exemple de la manière dont une simple fonction unidimensionelle peut mener au chaos.

Si x0 est rationnel, l'image de x0 contient un nombre fini de valeurs différentes dans [0, 1[ et l'orbite positive de x0 est périodique à partir d'un certain point, avec la même période que le développement binaire de x0. Par exemple, l'orbite positive de 11/24 est :

\frac{11}{24} \to \frac{11}{12} \to \frac{5}{6} \to \frac{2}{3} \to \frac{1}{3} \to \frac{2}{3} \to \frac{1}{3} \to \cdots

Si x0 est irrationnel, l'image de x0 contient un nombre infini de valeurs différentes et l'orbite positive de x0 n'est jamais périodique.

À l'intérieur de n'importe quel sous-intervalle de [0,1[, aussi petit qu'il soit, il y a donc une infinité de points dont les orbites sont périodiques à partir d'un certain point et un nombre infini de points dont les orbites ne sont jamais périodiques. Cette sensibilité extrême aux conditions initiales est une caractéristique des fonctions chaotiques.

Le décalage de Bernoulli est le conjugué topologique de la fonction en tente de hauteur unité.

Intégrabilité

Le décalage de Bernoulli est un modèle complètement intégrable dans la théorie du chaos déterministe. Les fonctions propres de carré sommable de l'opérateur d'évolution associé au décalage de Bernouilli sont les polynômes de Bernoulli. Ces fonctions propres forment un spectre discret avec comme valeurs propres 2 − n pour les entiers non négatifs n.

Il existe des vecteurs propres plus généraux, qui ne sont pas de carré sommable, associés à un spectre continu. Ceux-ci sont donnés par la fonction zêta de Hurwitz ; de manière équivalente, les combinaisons de la fonction zêta de Hurwitz donnent des fonctions propres dérivables nulle part, dont la fonction de Takagi. Les fonctions propres fractales présentent une symétrie par rapport au groupoïde du groupe modulaire.

Articles liés

Références


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Décalage de Bernoulli (mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Decalage de Bernoulli — Décalage de Bernoulli Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le décalage de Bernoulli, une transformation en thérorie des langages formels ; Le décalage de Bernoulli, la fonction dyadique… …   Wikipédia en Français

  • Décalage De Bernoulli — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le décalage de Bernoulli, une transformation en thérorie des langages formels ; Le décalage de Bernoulli, la fonction dyadique ou fonction 2 x mod 1 …   Wikipédia en Français

  • Décalage de bernoulli — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le décalage de Bernoulli, une transformation en thérorie des langages formels ; Le décalage de Bernoulli, la fonction dyadique ou fonction 2 x mod 1 …   Wikipédia en Français

  • Décalage de Bernoulli (langage formel) — Pour les articles homonymes, voir Décalage de Bernoulli. Un décalage de Bernoulli (en anglais Bernoulli shift) est une transformation opérant sur des mots de longueur infinie, étudiée en dynamique symbolique. Étant donné un alphabet Λ, c est à… …   Wikipédia en Français

  • Décalage de Bernoulli — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le décalage de Bernoulli, une transformation en théorie des langages formels ; Le décalage de Bernoulli, la fonction dyadique ou fonction 2 x mod 1,… …   Wikipédia en Français

  • Bernoulli — Famille Bernoulli Les Bernoulli qui se sont illustrés dans les mathématiques et la physique, sont issus de Nicolas Bernoulli (1623 1708), descendant d une famille ayant émigré d Anvers à Bâle à la fin du XVIe siècle. Les représentants les… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Mathematiques en Europe au XVIIe siecle — Mathématiques en Europe au XVIIe siècle Au XVIIe siècle, en Europe, se produit un formidable développement des mathématiques qui se tournent vers la résolution de problèmes pratiques dans un contexte d amélioration des échanges et des… …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques En Europe Au XVIIe Siècle — Au XVIIe siècle, en Europe, se produit un formidable développement des mathématiques qui se tournent vers la résolution de problèmes pratiques dans un contexte d amélioration des échanges et des communications. L’intérêt des mathématiciens… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”