Représentation de Heisenberg

Représentation de Heisenberg

En mécanique quantique, la représentation de Heisenberg est une des trois formulations et modes de traitement des problèmes dépendants du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette représentation, les opérateurs du système évoluent avec le temps.

Sommaire

Généralités

Le principe de superposition stipule qu'un état est en général une combinaison linéaire d'états propres. Dans cette représentation:

Cette représentation est à opposer à la représentation de Schrödinger, dans laquelle les operateurs sont indépendants du temps mais opèrent sur des vecteurs d'état qui sont fonction du temps.

La représentation de Heisenberg ne doit pas être confondue avec la « mécanique des matrices » , quelquefois appelée « mécanique quantique de Heisenberg ».

Formulation mathématique

Dans le cadre de la représentation de Heisenberg de la mécanique quantique le vecteur d'état |\psi\rangle_H est indépendant du temps, on peut la déterminer ainsi :

| \psi \rangle_H = U^{-1}(t,t_0) | \psi (t) \rangle_S = | \psi (t_0) \rangle_S

alors qu'une observable satisfait à l'équation d'évolution :

{d \over {dt}}A_H={1 \over {i\hbar}}[A_H,\hat H]+({{\partial A_H} \over {\partial t}})_{classique}

La similitude avec la physique classique est évidente en remplaçant le commutateur par un crochet de Poisson.

Opérateur d'évolution

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

On considère l'opérateur d'évolution temporelle suivant :

|\Psi(t)\rangle_S = U(t,t_0)|\Psi(t_0)\rangle_S

avec

U(t,t_0)=e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}


Lien avec la représentation de Schrödinger

Soit une observable \hat A_H :

\lang \hat A \rangle (t) = \langle \psi | \hat A_H | \psi \rangle_H = \langle \psi(t) | \hat A_S | \psi(t) \rangle_S

où | \psi(t) \rang obeit à l'équation de Schrödinger:

| \psi (t) \rangle_S = U(t,t_0) | \psi (t_0) \rangle_S

où \hat H est le hamiltonien, et \hbar.

On en déduit que

\hat A_H (t)=U^{-1}(t,t_0) \hat A_S U(t,t_0)

donc

{d\over{dt}} \hat A_H (t)={{i\hat H} \over \hbar}e^{i\hat Ht / \hbar} \hat A_S e^{-i\hat Ht / \hbar} +e^{i\hat Ht / \hbar} ({{\partial \hat A_S}\over{\partial t}})e^{-i\hat Ht / \hbar}- e^{i\hat Ht / \hbar} \hat A_S {{i\hat H}\over \hbar} e^{-i\hat Ht / \hbar}=
{i \over \hbar } \left( \hat H \hat A(t)_H - \hat A(t)_H \hat H \right) + \left(\frac{\partial \hat A_H}{\partial t}\right)_\mathrm{classique}

puisque e^{(-iHt/\hbar)} commute avec \hat H.


Représentation :
Heisenberg Interaction Schrödinger
Ket constant |\Psi(t)\rangle_I = U_0^{-1} |\Psi(t)\rangle_S |\Psi(t)\rangle_S = U |\Psi(t_0)\rangle_S
Observable AH(t) = U − 1ASU A_I (t)=U_0^{-1} A_S U_0 constant
Opérateur d'évolution \hat H = \hat H_0 + \hat V(t) U(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}
U_0(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)}
Mécanique quantique  : Théorème d'Ehrenfest • Équation de Schrödinger • Propagateur

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Représentation de Heisenberg de Wikipédia en français (auteurs)

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