Reperage dans le plan et dans l'espace

Reperage dans le plan et dans l'espace

Repérage dans le plan et dans l'espace

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En géométrie analytique, tout point du plan ou de l'espace est « repéré », c'est-à-dire qu'on lui associe un couple (dans le plan) ou un triplet (dans l'espace) de nombres.

Sommaire

Préliminaire : droite graduée

Pour graduer une droite, on prend sur cette droite un point O appelé origine et le représentant d'un vecteur \vec{i} passant par O qui définit l'unité: on parle du repère (O, \vec{i}).

Propriété et définition
Sur une droite graduée par le repère (O, \vec {i}), à tout point A correspond un unique nombre x appelé abscisse de A.
On a
\overrightarrow{OA} = x \cdot \vec{i}
et on note A(x).

Repérage dans le plan

Pour munir le plan d'un repère, on prend dans ce plan un point O appelé origine et les représentants de deux vecteurs \vec{i} et \vec{j} passant par O qui définissent les unités respectivement « horizontales » et « verticales » : on parle du repère (O, \vec{i}, \vec{j})\,.

Propriété et définition
Dans le plan muni du repère (O, \vec{i}, \vec{j}),à tout point A correspond un unique couple (x,y) de nombres appelés coordonnées de A. On a
\vec {OA} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j}
et on note A(x,y).
Vocabulaire
x est l' abscisse de A et y est son ordonnée.

La droite sur laquelle on lit les abscisses des points est appelée axe des abscisses et celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est appelée axe des ordonnées.

Un repère dont les axes sont perpendiculaires est dit orthogonal . Un repère orthogonal tel que les longueurs (« normes ») de \vec{i} et de \vec{j} soient chacune égales à 1 est dit orthonormé, ou repère orthonormal.

Repérage dans l'espace

Pour munir l'espace d'un repère, on prend un point O appelé origine et les représentants de trois vecteurs \vec{i}, \vec{j} et \vec{k} passant par O qui définissent les unités et les directions, respectivement « gauche-droite », « avant-arrière » et « verticale » : on parle du repère (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}).

Propriété et définition
Dans l'espace muni du repère (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), à tout point A correspond un unique triplet (x,y,z) de nombres appelés coordonnées de A. On a
\vec {OA} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k}
et on note A(x,y,z).
Vocabulaire
x est l'abscisse de A, y est son ordonnée et z est sa cote.

La droite sur laquelle on lit les abscisses des points est appelée axe des abscisses, celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est appelée axe des ordonnées et celle sur laquelle on lit les cotes est appelée axe des cotes.

Un repère dont les axes sont perpendiculaires est dit orthogonal. Un repère orthogonal dont les longueurs de \vec{i}, de \vec{j} et de \vec{k} sont chacune égales à 1 est dit orthonormé, ou repère orthonormal.

Les repères \mathbb{R} et \mathbb{C}

Propriété
À tout point de la droite graduée par le repère (O, \vec{i}) correspond un unique nombre réel.
La réciproque est vraie.
Propriété
À tout point du plan muni du repère (O, \vec{i}, \vec{j}) correspond un unique nombre complexe.
La réciproque est vraie .

Au point (0,1) correspond le nombre complexe i. Ce plan est appelé plan complexe' ou plan d'Argand-Cauchy

Voir aussi

Articles connexes

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