Quadrimoment

Quadrimoment

Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel classique à un espace-temps à 4 dimensions. Le moment est un vecteur de l'espace (donc généralement à 3 dimensions); de la même manière, le quadri-moment est un quadrivecteur de l'espace-temps. Le quadri-moment covariant d'une particule avec un moment tridimensionnel \vec p = (p_x, p_y, p_z) et d'énergie E est

\begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}

Le quadri-moment est souvent utilisé en calcul relativiste car il s'agit d'un vecteur de Lorentz. Cela permet de lui appliquer (relativement) facilement des Transformations de Lorentz.

Sommaire

Norme de Minkowski: p2

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule:

- |p|^2 = - \eta^{\mu\nu} p_\mu p_\nu = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2 = m^2c^2

en utilisant la convention du système international d'unités:

\eta^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

qui est l'inverse du tenseur métrique[1] en relativité restreinte. Puisque |p|^2\! est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel.

Relation avec la quadrivitesse

Pour une particule dotée de masse, le quadri-moment est donné par la masse au repos fois la quadrivitesse:

p_\mu = m \, \eta_{\mu\nu} U^\nu\!

où la quadrivitesse est

\begin{pmatrix} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z \end{pmatrix}

et \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné[2] implique deux lois de conservations pour des quantité dites classiques:

  1. La quantité totale d'énergie E = - p0 est invariante.
  2. Le moment linéaire classique tridimensionnel \vec p reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique . Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {-5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {-5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} ayant chacune une masse au repos de 3 Gev/c2 mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c2. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c2.

Une applicaton pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments pA et pB de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne qμ = pAμ + pBμ, et la masse M de la particule initiale est donnée par -|q|2 = M2c2. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expériementales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante Aμ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

p_{\mu} A^{\mu} = p_{\mu} \frac{d}{dt} \frac{\eta^{\mu\nu} p_{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} |p|^2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} (-m^2c^2) = 0 .

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste: Pμ, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions):

P_{\mu} = p_{\mu} + q A_{\mu} \!

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique:

\begin{pmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\phi \\ A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}

Voir aussi

Notes

  1. ↑ Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention ημν = ( + , − , − , − ) au lieu de la convention ημν = ( − , + , + , + ) adoptée dans cet article. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.
  2. ↑ La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total pν d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : p^\mu={\Lambda^\mu}_\nu p^\nu. Le nouveau quadri-moment pμ est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à pν.

References

  • (en) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford University Press, Oxford, 1991 
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