Propagateur de l'équation de Schrödinger

Le terme propagateur a été introduit en physique par Feynman en 1948^[1] pour sa formulation de la mécanique quantique en intégrales de chemin, une nouvelle approche de la quantification centrée sur le Lagrangien, contrairement à la procédure habituelle de quantification canonique fondée sur le Hamiltonien.

Le propagateur, outil mathématique très commode, sera rapidement identifié par Dyson comme n'étant rien d'autre qu'une fonction de Green. Cette remarque permettra à Dyson de faire en 1948 le lien manquant entre la formulation abstraite de l'électrodynamique quantique développée par Schwinger, et celle, basée sur des diagrammes, inventée indépendamment par Feynman.

Sommaire

1 Propagateur
2 Application au calcul d'une amplitude de transition
3 Expression du propagateur de la particule libre
4 Équation de Chapman-Kolmogorov
5 Annexes

Propagateur

Introduction

Considérons une particule non relativiste de masse $m$ à une dimension, dont l'opérateur Hamiltonien s'écrit :

$\hat{H} \ = \ \frac{\hat{p}^2}{2m} \ + \ V(\hat{q})$

En représentation de Schrödinger, cette particule est décrite par le ket $| \psi(t) \rangle$ qui obéit à l'équation de Schrödinger :

$i \hbar \ \frac{d | \psi(t) \rangle}{dt} \ = \ \hat{H} \ | \psi(t) \rangle$

Si l'on se donne à un instant initial $t 0$ fixé une condition initiale $| \psi(t_0) \rangle$ , et en supposant que l'opérateur $\ \hat{H}$ est indépendant du temps^[2], on peut écrire la solution de l'équation de Schrödinger aux instants ultérieurs $t > t 0$ comme :

$| \psi(t) \rangle \ = \ e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \ | \psi(t_0) \rangle$

Projetons cette équation dans la représentation des positions :

$\langle q | \psi(t) \rangle \ = \ \langle q |e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \ | \psi(t_0) \rangle$

et insérons la relation de fermeture dans le terme de droite :

$1 \ = \ \int dq_0 \ | q_0 \rangle \ \langle q_0 |$

il vient :

$\langle q | \psi(t) \rangle \ = \ \int dq_0 \ \langle q |e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \ | q_0 \rangle \ \langle q_0 | \psi(t_0) \rangle$

Compte-tenu du fait que $\langle q | \psi(t) \rangle = \psi(q,t)$ , l'équation précédente s'écrit sous la forme :

$\psi(q,t) \ = \ \int dq_0 \ \langle q |e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} |q_0 \rangle \ \psi(q_0,t_0)$

Définition

On définit le propagateur de l'équation de Schrödinger par :

${K(q,t|q_0,t_0) \ = \ <q |e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} |q_0 >}$

de telle sorte que la fonction d'onde évolue selon l'équation intégrale :

$\psi(q,t) \ = \ \int dq_0 \ K(q,t|q_0,t_0) \ \psi(q_0,t_0)$

Remarque

Comme $ψ(q, t)$ est une solution de l'équation de Schrödinger, le propagateur est aussi une solution de cette équation :

$i \hbar \ \frac{\partial K(q,t|q_0,t_0) }{\partial t} \ = \ - \ \frac{\hbar^2}{2m} \ \Delta_q \ K(q,t|q_0,t_0) \ + \ V(q) \ K(q,t|q_0,t_0)$

qui doit de plus vérifier la condition initiale :

$\lim_{t \to t_0} K(q,t|q_0,t_0) \ = \ \delta(q-q_0)$

Les mathématiciens parlent dans ce cas d'une solution élémentaire de l'équation de Schrödinger, les physiciens utilisant plutôt le nom de fonction de Green.

Application au calcul d'une amplitude de transition

L'amplitude de transition pour que la particule passe d'état initial $| ψ(t 1) >$ à l'instant $t 1$ vers un état $| φ(t 2) >$ à l'instant $t 2 > t 1$ est donné par l'élément de matrice :

$S_{1 \to 2} \ = \ < \varphi(t_2)|e^{-i\hat{H} (t_2-t_1) /\hbar} \ | \psi(t_1) >$

En insérant deux fois la relation de fermeture, on obtient :

$S_{1 \to 2} \ = \ \int \int dq_1 dq_2 \ < \varphi(t_2)|q_2> \ <q_2 | \ e^{-i\hat{H} (t_2-t_1) /\hbar} \ | q_1> \ <q_1 |\psi(t_1) >$

c’est-à-dire :

$S_{1 \to 2} \ = \ \int \int dq_1 dq_2 \ \varphi^*(q_2,t_2) \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ \psi(q_1,t_1)$

On constate donc que la connaissance du propagateur permet de calculer n'importe quelle amplitude de transition quantique, au moins formellement.

Expression du propagateur de la particule libre

Rappels sur la transformation de Fourier

On rappelle les relations :

$\hat{\psi}(p) \ = \ \int \frac{dq}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ e^{\, - \, i p q/\hbar} \ \psi(q)$

$\psi(q) \ = \ \int \frac{dp}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ e^{\, + \, i p q/\hbar} \ \hat{\psi}(p)$

Avec les notations de Dirac, et en utilisant la relation de fermeture sur les impulsions :

$1 \ = \ \int dp \ | p > \ < p |$

la seconde relation s'écrit :

$< q | \psi > \ = \ \int \frac{dp}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ e^{\, + \, i p q/\hbar} \ <p | \psi > \ = \ \int dp \ < q | p > \ <p | \psi >$

On tire la formule suivante :

$< q | p > \ = \ \frac{e^{\, + \, i p q/\hbar}}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \$

Expression du propagateur de la particule libre

Pour une particule libre sur la droite, l'opérateur Hamiltonien est indépendant de la position :

$\hat{H} \ = \ \frac{\hat{p}^2}{2m}$

Le propagateur, qu'on note dans ce cas $K 0$ , s'écrit alors :

$K_0 (q,t|q_0,t_0) \ = \ <q |e^{-i\hat{p}^2(t-t_0)/ (2m\hbar)} |q_0 >$

Insérons alors deux fois la relation de fermeture pour les impulsions dans la définition du propagateur :

$K_0 (q,t|q_0,t_0) \ = \ \int dp \int dp_0 \ <q |p> \ <p|e^{-i\hat{p}^2(t-t_0)/ (2m\hbar)} | p_0 > \ <p_0|q_0 >$

Le ket $| p 0 >$ étant par définition un état propre de l'opérateur impulsion $\hat{p}$ , on a :

$\hat{p}\, | p_0 > \ = \ p_0 \, |p_0 >$

et l'élément de matrice devient :

$<p|e^{-i\hat{p}^2(t-t_0)/ (2m\hbar)} | p_0 > \ = \ e^{-ip_0^2(t-t_0)/ (2m\hbar)} \ <p| p_0 >$

Sachant que $< p | p 0 > = δ(p - p 0)$ , on obtient pour le propagateur :

$K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \int dp \ <q |p> \ e^{-ip^2(t-t_0)/ (2m\hbar)} \ <p|q_0 >$

Compte-tenu de la formule démontrée précédemment avec la transformée de Fourier, il vient :

$K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \int dp \ \frac{e^{\, + \, i p q/\hbar}}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ \times \ e^{-ip^2(t-t_0)/ (2m\hbar)} \ \times \ \frac{e^{\, - \, i p q_0/\hbar}}{\sqrt{2 \pi \hbar}}$

qui se réécrit :

$K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \int \frac{dp}{2 \pi \hbar} \ \exp \left[ \, \frac{i p (q-q_0)}{\hbar} \ - \ \frac{ip^2(t-t_0)}{2m\hbar} \, \right]$

L'argument de l'exponentielle peut se réécrire comme suit :

$\frac{i p (q-q_0)}{\hbar} \ - \ \frac{ip^2(t-t_0)}{2m\hbar} \ = \ - \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \times \ \left[ \ p^2 \ - \ \frac{2mp(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right]$

Or le crochet est le début d'un carré parfait :

$p^2 \ - \ \frac{2mp(q-q_0)}{(t-t_0)} \ = \ \left[ \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right]^2 \ - \ \frac{m^2(q-q_0)^2}{(t-t_0)^2}$

donc l'argument de l'exponentielle devient :

$- \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \times \ \left[ \ \left( \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)^2 \ - \ \frac{m^2(q-q_0)^2}{(t-t_0)^2} \right]$

$= \ - \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \left( \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)^2 \ + \ \frac{i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)}$

Le dernier terme étant indépendant de l'impulsion, il sort de l'intégrale et le propagateur s'écrit :

$K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \exp \left( \frac{i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right) \ \times \ \int \frac{dp}{2 \pi \hbar} \ \exp \left[ \, - \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \left( \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)^2 \, \right]$

On fait un changement de variable sur les impulsions, les autres paramètres étant fixés :

$p \ \longrightarrow \ k \ = \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \Longrightarrow \ dp \ \longrightarrow \ dk \ = \ dp$

ce qui donne :

$K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \frac{1}{2 \pi \hbar} \ \exp \left( \frac{i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right) \ \times \ \int dk \ \exp \left[ \, - \ \frac{i (t-t_0) k^2}{2m\hbar} \, \right]$

Il subsiste une intégrale Gaussienne qui se calcule exactement :

$\int dk \ e^{- \alpha k^2} \ = \ \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$

On en déduit que :

$K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \frac{1}{2 \pi \hbar} \ \sqrt{\frac{2\pi m \hbar}{i(t-t_0)}} \ \exp \left( \frac{ + i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right)$

d'où l'expression finale du propagateur libre :

$K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar (t-t_0)}} \ \exp \left( \frac{ + i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right)$

Remarque

Pour une particule libre dans un espace Euclidien à d dimensions, on pourrait démontrer de façon analogue que :

$K_0(\vec{q},t|\vec{q}_0,t_0) \ = \ \left( \, \frac{m}{2 i \pi \hbar (t-t_0)} \, \right)^{d/2} \ \exp \left( \frac{ + i m(\vec{q}-\vec{q}_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right)$

Équation de Chapman-Kolmogorov

La fonction d'onde à un instant $t 2 > t 1$ est donnée par l'équation intégrale :

$\psi(q_2,t_2) \ = \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ \psi(q_1,t_1)$

En introduisant dans cette équation la relation entre $ψ(q 1, t 1)$ et $ψ(q 0, t 0)$ , on obtient :

$\psi(q_2,t_2) \ = \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ \int dq_0 K(q_1,t_1|q_0,t_0) \ \psi(q_0,t_0)$

qu'on peut écrire :

$\psi(q_2,t_2) \ = \ \int dq_0 \ \left[ \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ K(q_1,t_1|q_0,t_0) \ \right] \ \psi(q_0,t_0)$

Mais comme on peut aussi écrire directement que :

$\psi(q_2,t_2) \ = \ \int dq_0 \ K(q_2,t_2|q_0,t_0) \ \psi(q_0,t_0)$

On en déduit la formule fondamentale suivante :

$K(q_2,t_2|q_0,t_0) \ = \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ K(q_1,t_1|q_0,t_0)$

Cette relation porte le nom d'équation de Chapman-Kolmogorov dans la théorie des processus stochastiques, dont le mouvement brownien est un cas particulier.

Annexes

Bibliographie

Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) ISBN 0-486-60444-6. Lire également la référence suivante.
Richard P. Feynman and André R. Hibbs, Quantum Physics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, 1965 [ISBN 0-070-20650-3]. La référence historique, écrite par le Maître et l'un de ses élèves.
Freeman Dyson ; Georges Green and physics, Physics World (Août 1993), 33-38.
Voir aussi la bibliographie de l'article : intégrale de chemin.

Référence

↑ Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) ISBN 0-486-60444-6. Lire également la référence suivante.
↑ Si l'hamiltonnien est dépendant du temps, une analyse détaillée des notions utilisées permet de définir et d'utiliser l'intégrale de cet opérateur par rapport au temps.

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