Programmation quadratique

Les problèmes de programmation quadratique sont des problèmes d'optimisation où la fonction objectif est quadratique et les contraintes sont linéaires. On inclut parfois le cas où les contraintes sont quadratiques.

Formalisme

Soit $x \in \mathbb{R}^{n}$ . Il s'agit de minimiser une fonction objectif de la forme suivante:

$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}q_{ij}x_i x_j +\sum_{j=1}^{n}c_j x_j$

sous les contraintes:

$g_i(\mathbf{x})=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j-b_i\le 0 \qquad i\in 1,\ldots, m$

Ce problème s'exprime sous forme matricielle:

$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T Q\mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$

$g_i(\mathbf{x})= A\mathbf{x} \le b \qquad i\in 1,\ldots, m$

Q est une matrice symétrique. Dans le cas où elle est semi-définie positive, la fonction $f$ est convexe et le problème a au moins une solution (s'il existe un point satisfaisant les contraintes). Si Q est définie positive, $f$ est strictement convexe et il existe une unique solution.

voir aussi

liens externes

Operations Research Models and Methods (Paul A. Jensen and Jonathan F. Bard) [1]
Une courte présentation du problème [2]

Portail des mathématiques

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Catégorie : Optimisation

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