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Produit de Kronecker
En mathématiques le produit de Kronecker est une opération portant sur les matrices. Il s'agit d'un cas particulier du produit tensoriel. Il est ainsi dénommé en hommage au mathématicien allemand Léopold Kronecker.
Sommaire
Définition
Soient A une matrice de taille m x n et B une matrice de taille p x q. Leur produit tensoriel est la matrice de taille mp par nq, définie par blocs successifs de taille p x q, le bloc d'indice i,j valant
En d'autres termes
Ou encore, en détaillant les coefficients,
Exemple
Propriétés
Bilinéarité, associativité
Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour A, B et C, on a les équations suivantes :
Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant pour toutes A et B il existe deux matrices de permutation P et Q telles que
Si de plus A et B ont la même taille, alors et sont équivalentes par permutation sur les vecteurs de la base :
où P est une matrice de permutation.
Propriétés sur le produit usuel
On a la propriété suivante qui mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker :
On peut en déduire que est inversible si et seulement si A et B sont inversibles, auquel cas :
Spectre
En utilisant la propriété précédente on déduit que si X et Y sont des vecteurs propres de A et B : et , alors :
Donc si λ1,...,λn et μ1,...,μm sont les valeurs propres de A et B, alors sont les valeurs propres de , en comptant la multiplicité.
En particulier :
où Tr désigne la trace, det le déterminant et rg le rang
Transposition
On a la propriété suivante sur la transposée :
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