Primorielle
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La primorielle d'un nombre entier n, notée n# ou P(n), est le produit de tous les nombres premiers inférieurs (ou égaux) à n. Par exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210 est une primorielle. Ces nombres furent nommés ainsi par Harvey Dubner.
L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration de l'infinitude des nombres premiers ; elle est utilisée pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier p donné : tout diviseur premier de P(p)+1 est en effet plus grand que p. Il est possible que P(p)+1 lui-même soit premier, c'est alors un nombre premier primoriel.
Tout nombre hautement composé est un produit de primorielles (exemple 360 = 2 × 6 × 30).
Progressions arithmétiques et primorielles
Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche des nombres premiers en progression arithmétique[1].
Par exemple 14 933 623 + k P(13) est un nombre premier pour k = 0, 1, ..., 12, ce qui donne une suite de 13 nombres premiers en progression arithmétique de raison P(13).
Premières primorielles
Voici les premières primorielles, sous forme de liste et de représentation graphique[2].
| p |
P(p) |
| 2 |
2 |
| 3 |
6 |
| 5 |
30 |
| 7 |
210 |
| 11 |
2 310 |
| 13 |
30 030 |
| 17 |
510 510 |
| 19 |
9 699 690 |
| 23 |
223 092 870 |
| 29 |
6 469 693 230 |
| 31 |
200 560 490 130 |
| 37 |
7 420 738 134 810 |
Notes et références
Voir aussi
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Primorielle de Wikipédia en français (auteurs)
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