Primitives généralisées

Primitives généralisées

En mathématiques, la notion de primitive généralisée est une généralisation de la notion de primitive. Dans le cas d'une fonction à intégrer continue, les deux notions se rejoignent.

Sommaire

Définition

Soit I = [a,b] un intervalle compact de \mathbb{R}. Soit f une fonction intégrable sur I. Une fonction F définie sur I s'appelle primitive généralisée de f sur I si on a :

F(v)-F(u) = \int_{u}^{v}f(x)\,dx

Pour tous réels u,v tels que a\leq u<v \leq b.

Dans le cas particulier où la fonction f est continue, la fonction F est une primitive de f.

Primitives à une constante près

La fonction f admet une infinité de primitives généralisées, deux d'entre elles différant d'une constante : Posons \forall x \in [a,b], \quad g(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt.

La fonction g est bien définie car \int_{a}^{x}|f(t)|\,dt=\int_{I}\mathbf{1}_{[a,x]}(t)|f(t)|\,dt\leq \int_{I}|f(t)|\,dt<+\infty

pour \forall x \in [a,b], par hypothèse sur f.


Par la relation de Chasles, on voit aussitôt que g est une primitive généralisée de f. Pour toute constante c, il est évident queg + c est encore une primitive généralisée de f, ce qui montre que f admet une infinité de primitives généralisées.

Soit h la différence entre deux primitives généralisées de f. On a alors h(v) − h(u) = 0 pour tous réels u,v tels que a\leq u<v \leq b. On en déduit que h(v) = h(a) pour tout v\in[a,b] et donc que h est une fonction constante

Continuité

Une primitive généralisée de f est nécessairement continue sur I. Il suffit de le prouver pour la fonction g citée précédemment. Soit x\in I et soit (x_k)_{k\geq 0} une suite d'éléments de I convergeant vers x. On a g(x_k)=\int_{I}\mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t)|f(t)|\,dt

Vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée. On a d'abord \forall k \in \mathbf{N}  \forall t \in I |\mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t)|f(t)|\leq |f(t)| et par hypothèse, la fonction | f | est intégrable surI. On a ensuite \lim_{k \rightarrow + \infty} \mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t) = \mathbf{1}_{[a,x]}(t) pour tout t \neq x, autrement dit presque partout. Par le théorème de convergence dominée, on conclut que la suite (g(x_k))_{k\geq 0} converge vers g(x).

Intégration par parties

Soient f, g deux fonctions intégrables sur I. Soient F et G des primitives généralisées de f et g respectivement. À l’aide du théorème de Fubini, on peut établir la formule d’ intégration par parties suivantes :

\int_{a}^{b}f(x)G(x)\,dx = F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}F(x)g(x)\,dx.

Considérons la fonction (x,t)\mapsto f(x)g(t)\mathbf{1}_{[a,x]}(t) Elle est intégrable sur I\times I car, par "Fubini positif",

\int_{I\times I}|f(x)g(t)\mathbf{1}_{[a,x]}(t)|\,dxdt\leq\int_{I\times I}|f(x)g(t)|\,dxdt=(\int_{I}|f(x)|\,dx)(\int_{I}|g(t)|\,dt)<+\infty


En appliquant le théorème de Fubini à notre fonction intégrable, on obtient

(\int_{a}^{b}f(x)( \int_{a}^{x}g(t)\,dt) \,dx)=(\int_{a}^{b}g(t)( \int_{b}^{t}f(x)\,dx) \,dt), autrement dit :

\int_{a}^{b}f(x)(G(x)-G(a))\,dx=\int_{a}^{b}g(t)(F(b)-F(t))\,dt

En développant on obtient l'égalité souhaitée.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Primitives généralisées de Wikipédia en français (auteurs)

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