- Primitives généralisées
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En mathématiques, la notion de primitive généralisée est une généralisation de la notion de primitive. Dans le cas d'une fonction à intégrer continue, les deux notions se rejoignent.
Sommaire
Définition
Soit I = [a,b] un intervalle compact de
. Soit f une fonction intégrable sur I. Une fonction F définie sur I s'appelle primitive généralisée de f sur I si on a :Pour tous réels u,v tels que
.Dans le cas particulier où la fonction f est continue, la fonction F est une primitive de f.
Primitives à une constante près
La fonction f admet une infinité de primitives généralisées, deux d'entre elles différant d'une constante : Posons
![\forall x \in [a,b], \quad g(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt](c/0ec1e0698d4cc786641c74f915d6afe6.png)
.La fonction g est bien définie car
![\int_{a}^{x}|f(t)|\,dt=\int_{I}\mathbf{1}_{[a,x]}(t)|f(t)|\,dt\leq \int_{I}|f(t)|\,dt<+\infty](4/a64517486b3bfe2a865453dfc3862d81.png)
pour
![\forall x \in [a,b]](f/47fea3d128e51bb753b9466d3aeb8368.png)
, par hypothèse sur f.
Par la relation de Chasles, on voit aussitôt que g est une primitive généralisée de f. Pour toute constante c, il est évident queg + c est encore une primitive généralisée de f, ce qui montre que f admet une infinité de primitives généralisées.Soit h la différence entre deux primitives généralisées de f. On a alors h(v) − h(u) = 0 pour tous réels u,v tels que
. On en déduit que h(v) = h(a) pour tout ![v\in[a,b]](3/3b312e38b04fbf597f3b9eca8c6e5040.png)
et donc que h est une fonction constanteContinuité
Une primitive généralisée de f est nécessairement continue sur I. Il suffit de le prouver pour la fonction g citée précédemment. Soit
et soit 
une suite d'éléments de I convergeant vers x. On a ![g(x_k)=\int_{I}\mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t)|f(t)|\,dt](e/11e783256c20cf96e63b59c716aa5230.png)
Vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée. On a d'abord
![|\mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t)|f(t)|\leq |f(t)|](2/2620c9f2fcd8c84ecb10255f7d5d628d.png)
et par hypothèse, la fonction | f | est intégrable surI. On a ensuite ![\lim_{k \rightarrow + \infty} \mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t) = \mathbf{1}_{[a,x]}(t)](0/91075e0e5ea358111b1d32094f3a1c24.png)
pour tout t 
x, autrement dit presque partout. Par le théorème de convergence dominée, on conclut que la suite 
converge vers g(x).Intégration par parties
Soient f, g deux fonctions intégrables sur I. Soient F et G des primitives généralisées de f et g respectivement. À l’aide du théorème de Fubini, on peut établir la formule d’ intégration par parties suivantes :
= 
.Considérons la fonction
![(x,t)\mapsto f(x)g(t)\mathbf{1}_{[a,x]}(t)](1/b71521164b8d8e95dedaf89a1f9e1ad9.png)
Elle est intégrable sur 
car, par "Fubini positif",![\int_{I\times I}|f(x)g(t)\mathbf{1}_{[a,x]}(t)|\,dxdt](3/943e9d2a33f120d8bc48fcbcf3ba9186.png)
=
En appliquant le théorème de Fubini à notre fonction intégrable, on obtient
=
, autrement dit :
=
En développant on obtient l'égalité souhaitée.
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