Polynôme d'Hermite

En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été surtout étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités). Ils sont définis comme suit :

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^{-x^2/2}$ (forme dite probabiliste)

$\widehat{H}_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^{-x^2}$ (forme dite physique)

Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante: $\widehat{H}_n(x) = 2^{n/2}H_n \left(x\,\sqrt{2} \right)\,\!$ .

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :

$H_0=1~$

$H_1=X~$

$H_2=X^2-1~$

$H_3=X^3-3X~$

$H_4=X^4-6X^2+3~$

$H_5=X^5-10X^3+15X~$

$H_6=X^6-15X^4+45X^2-15~$

$\widehat{H}_0=1~$

$\widehat{H}_1=2X~$

$\widehat{H}_2=4X^2-2~$

$\widehat{H}_3=8X^3-12X~$

$\widehat{H}_4=16X^4-48X^2+12~$

$\widehat{H}_5=32X^5-160X^3+120X~$

$\widehat{H}_6=64X^6-480X^4+720X^2-120~$

On peut démontrer que dans ${H_p}~$ les coefficients d'ordre ayant la même parité que $p-1~$ sont nuls et que les coefficients d'ordre $p~$ et $p-2~$ valent respectivement $1~$ et $-p(p-1)/2~$ .

Orthogonalité

$H n$ est un polynôme de degré $n$ . Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure $μ$ de densité

$\frac{\mathrm{d}\mu(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}.$

Ils vérifient :

$\int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{nm}$

où $δ n m$ est le symbole de Kronecker. Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert $L^2(\mathbb C,\mu)$ des fonctions boréliennes telles que:

$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{d}x< +\infty,$

dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale

$\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\overline{g(x)}\,\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{d}x.$

Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes de Hermite sous leur forme physique.

Diverses propriétés

Le $n$ -ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique):

$H_n''(x)-xH_n'(x)+nH_n(x)=0.\,$

$\widehat{H}_n''(x)-2x\widehat{H}_n'(x)+2n\widehat{H}_n(x)=0.\,$

Les polynômes satisfont la propriété

$H_n'(x)=nH_{n-1}(x),\,$

$\widehat{H}_n'(x) = 2n \widehat{H}_{n-1}(x),\,$

que l'on peut écrire ainsi

$H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k H_{n-k}(y)$

$\widehat{H}_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(2x)^k \widehat{H}_{n-k}(y)$

Ils vérifient donc la relation de récurrence suivante :

$H_{n+1}(x)= xH_{n}(x) - nH_{n-1}(x),\,$

$\widehat{H}_{n+1}(x)= 2x\widehat{H}_{n}(x) - 2n\widehat{H}_{n-1}(x).\,$

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