Pendule simple de longueur variable

Pendule simple de longueur variable

Le pendule simple de longueur variable modélise une charge soulevée par une grue.

Quand la longueur se raccourcit, l'amplitude des oscillations augmente et la puissance du moteur de la grue ne se réduit plus à lutter contre la pesanteur.

Sommaire

Equation du mouvement

Le fil supportant la masse m est de masse négligeable , sans raideur et inextensible. Sa longueur est l(t) = OM ,O étant fixe.

Le théorème du moment cinétique appliqué en O ou bien l'accélération orthoradiale donnent l'équation du mouvement :

m {d \over dt}{(l^2\dot{\theta})} = - mgl \cdot sin \theta, ou
l^2 \ddot{\theta} + 2 l \dot{l} \dot{\theta} + gl sin \theta = 0 , soit
\ddot{\theta} + 2 \frac{\dot{l}}{l} \cdot{\dot{\theta}} + \frac g l \cdot \sin \theta = 0

On peut y reconnaître une équation de pendule avec un terme de "résistance". Si la longueur se raccourcit, c'est une résistance "négative" : d'où l'intuition que l'amplitude va augmenter[1]. Cela, néanmoins n'est pas évident car g/l varie aussi. D'ailleurs, se pose la question pour "~"l'arc L = lθ, car l'équation satisfaite par L est :

\ddot{ L} + g \cdot \sin(L/l) -(\ddot {l }/ l)\cdot L

pour les faibles valeurs de L/l, elle se réduit à celle d'un pendule avec une pesanteur apparente (g -l") { peu évident a priori}: l'arc L augmente-t-il ? On est ramené à un problème de pendule paramétrique.

  1. ↑ si l'on considère g localement négligeable, c'est l'idée simple de la conservation du moment cinétique et de la déviation vers l'Est

Bilan d'énergie

Il se résume au théorème de l'énergie cinétique en coordonnées polaires : appelons l(t) = r , comme il est usuel. Les deux équations du pendule se réduisent à :

  • \ddot r - r \dot\theta^2 = g \cos \theta - N
  • r\ddot \theta +2 \dot r \dot \theta = - g \sin \theta

As usual, il faut multiplier la première par ^{\dot r} et la deuxième par ^{r \dot \theta} ~ pour faire apparaître l'énergie cinétique :

  • \frac 1 2 \frac d {dt} (\dot r^2 + r \dot\theta^2 ) + \frac d {dt}(g\cdot z)=\, -N\cdot \dot r = \,P :

Il apparaît que la puissance P de la grue ne se limite pas à lutter contre la pesanteur.

Autre expérience

Au lieu de laisser filer le fil au travers de la perle située en O, on peut au contraire élever la perle-de-céramique en A , l(t) =OA(t) avec une vitesse dl/dt. L'analyse est la même à condition de se placer dans le référentiel accéléré R (origine A) où la pesanteur apparente est simplement g - l". L'équation en L(t) se simplifie encore ; en fait il faudrait montrer l'identité des deux expériences ; là aussi le bilan d'énergie requiert de l'attention.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Pendule simple de longueur variable de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Pendule de longueur variable — Pendule simple de longueur variable La charge soulevée par une grue est un pendule simple de longueur variable l(t). En considérant simplement les petites oscillations, pour raison de simplicité, on peut montrer que descendre la masse réduit l… …   Wikipédia en Français

  • Pendule simple — Schéma montrant un pendule simple. En physique, le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l extrémité d un fil sans masse, inextensible et sans raideur[1] et oscillant sous l effet de la pesanteur. Il s agit du modèle de pen …   Wikipédia en Français

  • Pendule simple à résonance paramétrique — En mécanique, un pendule paramétrique est un oscillateur où la force de rappel varie périodiquement. Cette situation dite de Hill (théorie de la Lune) de Mathieu (balancelle) ou de Bloch (électron dans un métal) est fréquemment utilisée en… …   Wikipédia en Français

  • Pendule de bessel — Le pendule simple de longueur variable Quand la longueur d un pendule simple varie de manière affine: l(t)= lo + vt, on dit qu il s agit d un pendule de Bessel, car la solution (pour de petites oscillations) s exprime à l aide des fonctions de… …   Wikipédia en Français

  • Pendule de Bessel — Le pendule simple de longueur variable Quand la longueur d un pendule simple varie de manière affine: l(t)= lo + vt, on dit qu il s agit d un pendule de Bessel, car la solution (pour de petites oscillations) s exprime à l aide des fonctions de… …   Wikipédia en Français

  • Pendule pesant compose — Pendule pesant composé Un pendule pesant composé est un dispositif utilisé en physique. Il est constitué d un corps lié à un centre ou un axe de rotation et oscillant sous l effet de son propre poids. Il est dit composé par opposition au pendule… …   Wikipédia en Français

  • Pendule pesant composé — Un pendule pesant composé est un dispositif utilisé en physique. Il est constitué d un corps lié à un centre ou un axe de rotation et oscillant sous l effet de son propre poids. Il est dit composé par opposition au pendule simple car,… …   Wikipédia en Français

  • Pendule adiabatique — On appelle équation du pendule adiabatique l équation différentielle : . lorsque la pulsation ω varie lentement; on dit alors qu il y a adiabatisme mécanique. L analyse WKB conduit à la remarquable conclusion qu il existe un invariant… …   Wikipédia en Français

  • Balancelle — En mécanique du point, la balancelle est un pendule simple de longueur variable, où l enfant accroît l amplitude de ses oscillations par l action d un travail intérieur : en ce sens, le mécanisme est légèrement différent de celui d un… …   Wikipédia en Français

  • HORLOGERIE — Depuis des millénaires, l’homme s’est préoccupé de la mesure du temps qui règle ses activités. À l’origine, c’est l’observation directe du Soleil qui permit de connaître l’heure, soit par la longueur de l’ombre portée par un style vertical, le… …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”