Partie linéaire

Partie linéaire

Application affine

C’est Euler, en 1748, qui est à l’origine du terme « transformation affine », car dit-il, « deux courbes images l’une de l’autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité ».

De nos jours, une application affine est une application entre deux espaces affines qui préserve la structure affine, c'est-à-dire qui envoie les droites, plans, espaces,... en des droites, plans, espaces, ... tout en préservant la notion de parallélisme.

France1.gif ➪ France affine.gif

Sommaire

Définition et premières propriétés

Une application f:M \mapsto M' d'un espace affine E\, vers un espace affine E'\, est dite affine s'il existe une application linéaire \vec f de l'espace vectoriel \vec E associé à E\, vers l'espace vectoriel \vec E' associé à E'\,, appelée la partie linéaire de f\,, satisfaisant :

\vec f(\overrightarrow{MN})=\overrightarrow{M'N'},

pour tous points M\, et N\, de E\,.

Une application affine est donc déterminée par la donnée d'un couple de points homologues O\, et O'\, et de sa partie linéaire :

f(M) = O' + \vec f(\overrightarrow{OM}),

Si E est de dimension n, elle est également déterminée par la donnée de n + 1 points formant un repère affine et de leurs images.

Définitions équivalentes :

  • Application linéaire d'un vectorialisé E_O\, de E\,, vers un vectorialisé E'_{O'}\, de E'\,.
  • Application conservant les barycentres.

Deux sous-affines parallèles dans E\, ont pour image des sous-espaces affines parallèles dans E'\, (les applications affines préservent le parallélisme).

Une application affine d'un espace affine dans lui même est appelée endomorphisme affine, et un endomorphisme bijectif est appelé un automorphisme, ou plus couramment une transformation affine. Les transformations affines forment un groupe, appelé le groupe affine de E\,, noté GA(E)\,

Exemples d'endomorphismes affines

  • les translations (caractérisation : partie linéaire = l'identité).
  • plus généralement, les homothéties (affines) (caractérisation : partie linéaire = une homothétie (vectorielle), uniquement dans le cas d'un rapport différent de 1)
  • les symétries (affines) (caractérisation : au moins un point fixe et partie linéaire = une involution, ou application affine de carré égal à l'identité)
  • les projections (affines) (caractérisation : au moins un point fixe et partie linéaire = un projecteur, ou application affine de carré égal à elle-même)
  • les affinités, comprenant toutes les précédentes

Points fixes des endomorphismes affines

Les points fixes jouent un rôle important pour les endomorphismes affines car un endomorphisme affine ayant un point fixe O\, est "moralement" une application linéaire (du vectorialisé E_O\,).

S'il est non vide, l'ensemble des points fixes de l'endomorphisme affine f\, est un sous-espace affine de direction Ker(\vec f-id_{\vec E}) : de plus si Im (\vec f-id_{\vec E})=\vec E, alors il existe au moins un point invariant pour f\,. On en déduit qu'en dimension finie si la partie linéaire de f\, a un unique vecteur invariant, alors f\, a un unique point invariant.

D'autre part, pour un endomorphisme affine f\, sans point fixe, on trouve facilement une translation qui, composée avec f\,, donne une application ayant un point fixe, mais cette translation ne commute pas avec f\, en général. Cependant, si \vec E=Ker(\vec f-id_{\vec E})\oplus Im(\vec f-id_{\vec E}), il existe un unique vecteur u\, et une unique application affine g\, ayant un point fixe telle que f=t_u \circ g=g\circ t_u ; c'est le cas par exemple des symétries glissées.

Transformation affine comme cas particulier d'homographie

L'espace affine E\, peut être complété par un hyperplan à l'infini H\, en un espace projectif \hat E ; une transformation affine f\, de E\, se prolonge alors de façon unique en une transformation projective, ou homographie de \hat E, laissant H\, invariant.

Réciproquement, toute homographie laissant un hyperplan invariant se restreint dans le complémentaire de cet hyperplan à une transformation affine.

En raccourci, les transformations affines sont les homographies ayant un hyperplan invariant, et on en déduit que le groupe affine est un sous-groupe du groupe projectif.

Les applications affines dans \mathbb K^n

Les applications affines dans \mathbb K sont exactement les applications f:\mathbb K\to \mathbb K de la forme

f(x)=ax+b, \quad \forall x\in\mathbb K

avec a\, et b\, deux réels quelconques. L'application linéaire qui lui est associée est \vec f:\mathbb K \to \mathbb K avec

\vec f(x)=ax,\quad \forall x\in\mathbb K.

De façon plus générale, une application affine f:\mathbb K^n\to\mathbb K^m est une application de la forme

f(X)=A\cdot X+B

où A\, est une matrice m\times n et B\, une matrice m\times 1. L'application linéaire associée est \vec f:\mathbb K^n\to\mathbb K^m définie par

\vec f(X)=A\cdot X,\quad \forall X\in\mathbb K^{n\times 1}

Translations et affinités dans \mathbb R^n

  • L'application T est une translation de vecteur \vec v si et seulement si

A=I_n,\quad B=\vec v.

  • L'application T est une affinité de coefficient k si et seulement si la matrice A n'admet pour valeurs propres que 1 et k, et si les espaces propres associés sont supplémentaires (la somme de leurs dimensions est égale à n, l'une d'elle pouvant être nulle).
    • En particulier, si k = 0, l'affinité est une projection (la matrice A représente une projection vectorielle dans \mathbb R^n).
    • Si k = − 1, alors l'affinité est une symétrie (la matrice A représente une symétrie vectorielle).
    • Si A n'admet qu'une seule valeur propre k\neq 1 de multiplicité n, alors T est une homothétie de rapport k et de centre P qui est l'unique point solution du système linéaire

(I_n-A)\cdot X=B.

Caractérisations géométriques des applications affines

On suppose dans ce paragraphe que \mathbb K=\mathbb{R} et que les espaces sont de dimension finie.

1) Les applications affines sont les applications conservant les barycentres.

Ceci vaut aussi bien pour les barycentres de familles finies que des centres d'inertie de parties munies de fonctions de masse ; le centre d'inertie d'un objet aura pour image par une application affine le centre d'inertie de l'objet image.

Grâce à l'associativité, on peut réduire la condition au fait de conserver les barycentres de deux points, mais on ne peut aller jusqu'à la conservation des milieux : les applications conservant les milieux sont les applications \mathbb{Q}-affines, et on peut construire par l'axiome du choix des applications \mathbb{Q}-affines non \mathbb{R}-affines.

Cependant, on peut montrer que

2) Les applications affines sont les applications continues conservant les milieux.

Remarque : la propriété de conservation des milieux équivaut à celle de conservation des parallélogrammes.


3) En dimension \ge 2, les transformations affines sont les bijections transformant une droite en une droite.

Ceci est une version du théorème fondamental de la géométrie affine. Il est remarquable qu'il n'y ait pas besoin de préciser que deux droites parallèles ont des images parallèles.

On peut même restreindre la caractérisation à :

4) En dimension \ge 2, les transformations affines sont les bijections transformant 3 points alignés en 3 points alignés.

Voir la page théorème fondamental de la géométrie affine pour plus de précisions.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Application affine ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Partie linéaire de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • linéaire — [ lineɛr ] adj. et n. m. • XVe; lat. linearis, de linea → ligne 1 ♦ Qui a rapport aux lignes, se traduit par des lignes. Mesure linéaire : mesure de longueur. Dessin linéaire, où le trait seul est utilisé (cf. Au trait). Perspective linéaire… …   Encyclopédie Universelle

  • Partie generatrice d'un groupe — Partie génératrice d un groupe En théorie des groupes, une partie génératrice d un groupe G est une partie A telle que tout élément du groupe s écrit comme produit d un nombre fini d éléments de A et de leurs inverses. L ensemble G lui même est… …   Wikipédia en Français

  • LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE (ALGÈBRE) — LINЙAIRE ET MULTILINЙAIRE (ALGИBRE) L’algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu’on la trouvera présentée ici, s’est progressivement dégagée, au cours du XIXe siècle et au début du XXe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n …   Encyclopédie Universelle

  • Partie stable — Clôture (mathématiques) On parle de clôture ou de fermeture en mathématiques dans des contextes très divers. Quelques exemples sont listés ci dessous. Clôture pour des opérations En mathématiques, on dit qu un ensemble est clos pour des fonctions …   Wikipédia en Français

  • Partie bornée d'un espace vectoriel topologique — Pour les articles homonymes, voir Partie bornée. En analyse fonctionnelle et dans des domaines mathématiques reliés, une partie d un espace vectoriel topologique est dite bornée si tout voisinage du vecteur nul peut être dilaté de manière à… …   Wikipédia en Français

  • Partie génératrice d'un groupe — Pour les articles homonymes, voir Génératrice. En théorie des groupes, une partie génératrice d un groupe est une partie A telle que tout élément du groupe s écrit comme produit d un nombre fini d éléments de A et de leurs inverses. Un groupe est …   Wikipédia en Français

  • Partie bornée — Pour les articles homonymes, voir Borne. En mathématiques, la notion de partie bornée (ou, par raccourci, de borné) étend celle d intervalle borné de réels à d autres structures, notamment en topologie et en théorie des ordres. Selon les cas, la… …   Wikipédia en Français

  • Accélérateur linéaire — Partie d un accélérateur linéaire situé à Clayton, Victoria, Australie. Un accélérateur linéaire est un dispositif permettant d accélérer des particules chargées afin de leur fournir une énergie cinétique importante dans le but de produire des… …   Wikipédia en Français

  • Cryptanalyse Linéaire — La cryptanalyse linéaire est une technique inventée par Mitsuru Matsui, chercheur chez Mitsubishi. Elle date de 1993 et fut développée à l origine pour casser l algorithme de chiffrement symétrique DES. Ce type de cryptanalyse se base sur un… …   Wikipédia en Français

  • Cryptanalyse lineaire — Cryptanalyse linéaire La cryptanalyse linéaire est une technique inventée par Mitsuru Matsui, chercheur chez Mitsubishi. Elle date de 1993 et fut développée à l origine pour casser l algorithme de chiffrement symétrique DES. Ce type de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”