Paradoxe du condamné à mort

Le paradoxe de l'interrogation surprise a été relevé par le professeur de mathématiques, Lennart Ekbom. Il fut publié en 1948 dans Mind.

Énoncé

Un professeur annonce à ses élèves :

« Il y aura une interrogation surprise la semaine prochaine. »

Précisons les termes. Il faut comprendre trois choses :

1. une interrogation aura lieu durant un "cours" soit le lundi, soit le mardi, soit le mercredi, soit le jeudi, soit le vendredi ;
2. juste avant le début de l'interrogation, l'élève ne pourra avoir la certitude que l'interrogation va avoir lieu ;
3. une unique interrogation aura lieu.

Explications

En quoi est-ce un paradoxe ?

Un élève futé fait le raisonnement suivant : Si jeudi soir, l'interrogation n'a pas eu lieu, alors je serai certain qu'elle est pour vendredi. Ce ne sera donc plus une surprise. L'interrogation ne peut donc avoir lieu vendredi parce c'est le dernier jour possible. Mais puisque l'interrogation ne peut avoir lieu le dernier jour, l'avant-dernier jour devient de facto, le dernier jour possible. Ainsi, par récurrence, on en déduit que l'interrogation ne peut avoir lieu.

Essayons de formaliser le problème. l'énoncé peut être (partiellement) interprété ainsi :

où i et j ∈ {1,..,5} sont des jours de la semaine et P(i) le prédicat : « il y a une interrogation le jour i » (¬ est la négation et ∧ la conjonction). Or, en utilisant l'équivalence entre ¬(a ⇒ b) et (a ∧ ¬b), on voit immédiatement la contradiction :

De quelle nature est ce paradoxe ?

Apparemment, il ne s'agit que d'un propos fallacieux de même nature que les paradoxes sorites.

Cependant, l'élève peut pousser plus loin le raisonnement. De la première conclusion, il doit déduire que le professeur a obligatoirement menti. Mais en quoi a-t-il menti ? Si le vendredi soir, l'examen a bien eu lieu, alors le mensonge est dans l'effet de surprise uniquement. Mais puisque le professeur est un menteur, il se peut qu'il n'y ait pas du tout d'examen. Le raisonnement initial n'est donc plus valable ; l'interrogation constituera bien une surprise même si elle survient le vendredi. Finalement, le professeur ne mentira pas si et seulement s'il est pris pour un menteur. On retrouve donc le paradoxe du menteur.

Ce paradoxe est en réalité inhérent au mot surprise et à la notion d'aléatoire.

Si Lennart dit à Marie : « Je vais te faire une surprise. » Alors Marie doit s'attendre à une surprise. La surprise sera alors conforme à son attente ; donc non surprenante. Lennart ne peut plus surprendre Marie que par l'absence de surprise ; c'est-à-dire, en se démentant par le non-faire. En se démentant, il surprend ; donc ne se dément pas.

En définitive, annoncer la surprise, c'est ôter l'effet de surprise.

Une première conclusion

En réalité, si la logique mathématique donne raison à l'élève, le sens commun se rangera du coté du professeur. Mais où se situe l'erreur de l'élève ? Comme l'a fait remarquer Thomas O'Beirne en 1965, elle se trouve dans le postulat implicite initial que « le professeur ne pouvait mentir. » Il faut donc considérer que la surprise est due non seulement à la date de l'interrogation, mais aussi à la non-sincérité du professeur. La sincérité du professeur ne repose que sur la possibilité du mensonge. Si la première interprétation était au premier degré, et cette interprétation est au second degré. Elle ne fait que déplacer le paradoxe. On retrouve la première interprétation en ajoutant un (méta-)axiome  :

• le professeur dit vrai

En d'autres termes, les premiers axiomes sont vrais.

Une autre interprétation

« Annoncer la surprise, c'est ôter l'effet de surprise » est la conclusion aberrante d'un raisonnement basé sur une interprétation vicieuse (voire erronée) du mot surprise. Mais alors, quel sens faut-il donner à un "événement surprise", lorsqu'il est annoncé ?

Qu'il s'agisse d' « avoir une interrogation surprise » ou de « recevoir un cadeau surprise », il faut bien comprendre que la surprise ne peut pas être causé par la survenue de l'événement, mais réside dans le fait que cet événement n'est pas totalement défini : la date de l'interrogation surprise ; la nature du cadeau. On doit donc envisager de multiples événements (mutuellement exclusif) dont l'un seulement arrivera (En l'occurrence : « avoir une interrogation surprise lundi », ... et « recevoir un jouet », « recevoir de l'argent », ...). Il faut également considérer que la surprise est synonyme d'imprévu, aussi minime soit-il. Ainsi la survenue d'un événement incertain, mais aussi la non-survenue d'un événement envisageable, constitueront des surprises.

Avec cette nouvelle interprétation, il est facile de démonter le raisonnement de l'élève à sa base : au jeudi soir, l'interrogation ne constituera certes pas une surprise ; mais la surprise aura déjà eu lieu repartie sur le lundi, le mardi, le mercredi et le jeudi (et donc le professeur aura tenu parole). En réalité, la surprise survient au moins le lundi et peut se reproduire chaque jour jusqu'au jeudi au plus tard.

La formule « interrogation surprise » est raccourci de « interrogation à une date surprise » et constitue une forme d'abus de langage, qui tend à faire croire que la surprise n'a lieu que le jour de l'interrogation.

En conclusion, l'erreur est donc de considérer une surprise, comme un unique événement ; c'est une vision a posteriori. Une situation de surprise est constituée d'au moins 2 événements incertains (une alternative).

Solutions proposées

Solution de Quine

Références

• D. J. O'Connor, "Pragmatic Paradoxes", Mind 1948, Vol. 57, pp. 358-9.
• M. Scriven, "Paradoxical Announcements", Mind 1951, vol. 60, pp. 403-7.
• R. Shaw, "The Unexpected Examination" Mind 1958, vol. 67, pp. 382-4.
• C. Wright and A. Sudbury, "the Paradox of the Unexpected Examination," Australasian Journal of Philosophy, 1977, vol. 55, pp. 41-58.
• A. Margalit and M. Bar-Hillel, "Expecting the Unexpected", Philosophia 1983, vol. 13, pp. 337-44.
• C. S. Chihara, "Olin, Quine, and the Surprise Examination" Philosophical Studies 1985, vol. 47, pp. 19-26.
• P. Franceschi, "Une analyse dichotomique du paradoxe de l'examen-surprise", Philosophiques 2005, vol. 32-2, pp. 399-421.
• R. Kirkham, "On Paradoxes and a Surprise Exam," Philosophia 1991, vol. 21, pp. 31-51.
• T. Y. Chow, "The surprise examination or unexpected hanging paradox," The American Mathematical Monthly Jan 1998 [1]

Voir aussi

Articles connexes

• paradoxe du menteur.