Opérateurs Morphologiques Mathématiques

Morphologie mathématique

Pour les articles homonymes, voir Morphologie.

Une forme (en bleu), sa dilatation morphologique (en vert), et son érosion morphologique (en jaune) par un élément structurant en forme de diamant

La morphologie mathématique est une branche des mathématiques présentant des liens forts avec l'algèbre, la théorie des treillis, la topologie et les probabilités.

Le développement de la morphologie mathématique a été inspiré par des problèmes de traitement d'images, domaine qui constitue son principal champ d'application. Elle fournit en particulier des outils de filtrage, segmentation, quantification et modélisation d'images.

Aperçu général

Une des idées de base de la morphologie mathématique est d'étudier ou de traiter un ensemble à l'aide d'un autre ensemble, appelé élément structurant, qui sert de sonde. A chaque position de l'élément structurant, on regarde s'il touche ou s'il est inclus dans l'ensemble initial. En fonction de la réponse, on construit un ensemble de sortie. On obtient ainsi des opérateurs de base qui sont relativement intuitifs.

Des propriétés que l'on retrouve souvent dans les opérateurs morphologiques sont :

la non-linéarité
la non-inversibilité
l'idempotence

Ceci implique en particulier une perte d'information ; bien utilisés, ces opérateurs permettent d'éliminer des structures ne respectant pas certains critères, comme par exemple de largeur ou de volume.

La morphologie mathématique s'intéresse aussi aux ensembles et aux fonctions aléatoires.

Le principal domaine d'application de la morphologie mathématique est le traitement d'images. Elle fournit, en particulier, des outils de filtrage, de segmentation et de quantification. Depuis son apparition, en 1964, elle connaît un succès grandissant et désormais contribue à garnir la boite à outils de tout traiteur d'images.

Bref historique

La morphologie mathématique a été inventée en 1964 par Georges Matheron et Jean Serra dans les laboratoires de l'École des Mines de Paris. Son développement a toujours été fortement motivé par des applications industrielles. Dans un premier temps, il s'est agi de répondre à des problèmes dans le domaine de l'exploitation minière, mais très vite ses champs d'applications se sont diversifiés : biologie, imagerie médicale, sciences des matériaux, vision industrielle, multimédia, télédétection et géophysique constituent quelques exemples de domaines dans lesquels la morphologie mathématique a apporté une contribution importante.

La morphologie mathématique reste un domaine actif de recherche. En témoignent les nombreuses publications scientifiques sur le sujet, ainsi que les symposiums internationaux sur la morphologie mathématique qui ont lieu tous les deux ou trois ans.

Quelques exemples de thèmes de recherche actuels:

Ligne de partage des eaux : parallélisation, approche topologique, hiérarchisation.
Extension de la morphologie mathématique à des fonctions vectorielles (images en couleurs, images multi-spectrales, etc.)

Opérateurs de base

La morphologie mathématique peut être développée dans le cadre abstrait de la théorie des treillis. Cependant, une présentation plus pratique, visant un utilisateur potentiel d'outils de traitement d'images, plutôt qu'un mathématicien, est ici adoptée.

Cas ensembliste

Plaçons nous dans $E=\Z^2$ , souvent utilisé comme modélisation du support des images binaires à deux dimensions, même si tout ce qui est présenté dans cette section reste valable dans $\R^d$ , où $d$ est un entier strictement positif. Soit $B$ un sous-ensemble de $E$ , appelé élément structurant. Si $x$ est un élément de $E$ , alors nous noterons $B x$ l'ensemble $B$ translaté de $x$ :

$B_x = \{b+x \mid b \in B\}$

L'élément structurant joue en quelque sorte le rôle de modèle local, ou de sonde. Il est promené partout sur l'image à traiter, et à chaque position on étudie sa relation avec l'image binaire, considérée comme un ensemble. Ces relations peuvent être du type « est inclus dans l'ensemble », ou « touche l'ensemble », par exemple.

Les éléments structurants les plus classiquement utilisés sont la croix, constituée de l'origine et des quatre points les plus proches, et le carré, constitué de l'origine et des huit points les plus proches. Ces deux éléments structurants correspondent respectivement à deux définitions possibles du voisinage ou de la connexité de l'image.

On introduit aussi le symétrique d'un ensemble, noté $\breve{B}$ :

$\breve{B} = \{-b \mid b \in B\}$

Si $B$ est symétrique, on a $\breve{B}=B$ .

Dilatation et érosion

Soit $X$ un sous-ensemble de $E$ . La dilatation morphologique avec l'élément structurant $B$ est définie comme la somme de Minkowski: ^[1]

$\delta_B(X) = X \oplus B = \{x + b \mid b \in B, x \in X\} = \cup_{x \in X} B_x$

Une autre formulation plus intuitive est :

$\delta_B(X) = \{x \mid \breve{B}_x \cap{X} \neq \empty \}$

La dilatation morphologique n'est, en général, pas inversible. L'opération qui en quelque sorte tente de produire l'inverse de la dilatation est l'érosion morphologique:

$\epsilon_B(X) = \{x \mid B_x \subset X \}$

La dilatation et l'érosion sont les opérateurs de base de la morphologie mathématique. Pratiquement tous les autres peuvent être définis à l'aide de ceux-ci, en utilisant des compositions de fonctions et des opérations ensemblistes.

Image originale (en noir : l'objet ; en blanc : le fond)

Dilatation par un carré 3x3

Erosion par un carré 3x3

Transformation en tout ou rien

On peut aussi prendre deux éléments structurants $A$ et $B$ pour définir des transformations. Si on demande en chaque point $x$ à $A$ d'être à l'extérieur de l'ensemble et à $B$ à l'intérieur on obtient la transformation en tout ou rien (hit or miss transform en anglais) :

$\eta(X) = \{ x \mid A_x \subset X^c ; B_x \subset X \}$

où $A c$ désigne le complémentaire de l'ensemble $A$ . Cette transformation permet de détecter certaines configurations précises de pixels. En ajoutant le résultat de la transformation à l'ensemble initial on obtient un épaississement:

$\operatorname{ep}(X) = X \cup \eta(X)$

en enlevant le résultat de l'ensemble initial on obtient un amincissement:

$\operatorname{aminc}(X) = X - \eta(X)$

En prenant des suites d'amincissements, on peut réduire progressivement l'ensemble initial (comme si on l'épluchait). De cette façon on peut calculer différents types de squelettes, dont des squelettes homotopiques.

Ouverture et fermeture

La composition d'une dilatation morphologique avec l'érosion par le même élément structurant ne produit pas, en général, l'identité, mais deux autres opérateurs morphologiques, l'ouverture morphologique:

$\gamma_B(X) = X \circ B = \delta_B \epsilon_B (X)$

et la fermeture morphologique:

$\phi_B(X) = X \bullet B = \epsilon_B \delta_B (X)$

L'ouverture peut être caractérisée géométriquement: elle donne l'union de tous les $B x$ inclus dans $X$ . Ainsi, la forme de l'élément structurant permet de choisir les structures qui peuvent le contenir.

La fermeture est le dual de l'ouverture: la fermeture du complémentaire d'un ensemble est égale au complémentaire de l'ouverture de cet ensemble.

La fermeture et l'ouverture sont des opérations croissantes et idempotentes, deux propriétés qui définissent les filtres morphologiques. La fermeture est extensive ( $X \subset \phi(X)$ ), et l'ouverture est anti-extensive( $\gamma(X) \subset X$ ).

Image originale

Fermeture par un carré 3x3

Ouverture par un carré 3x3

Extension aux fonctions

Une image à niveaux de gris peut être modélisée comme une fonction de $\Z^2$ dans $\Z$ . Soit $f$ une fonction appartenant à cet ensemble. On a alors :

$\delta_B(f) = \sup\{f_b \mid b \in B\}$

$\epsilon_B(f) = \inf\{f_b \mid -b \in B \}$

L'ouverture et la fermeture de fonctions s'obtiennent comme dans le cas ensembliste :

$\gamma_B(f) = \delta_B\,\epsilon_B (f)$

$\phi_B(f) = \epsilon_B\,\delta_B (f)$

L'ouverture et la fermeture morphologiques constituent déjà des outils intéressants de filtrage d'images. Cependant, ils peuvent modifier le contour des objets, propriété qui peut être malvenue. Les opérateurs par reconstruction et plus généralement les nivellements, introduits plus loin, permettent de pallier cet inconvénient.

Epaississements et amincissements ne sont pas, en général, des opérateurs croissants. Par conséquent, leur application aux fonctions (en pratique, aux images à niveaux de gris) n'est pas triviale. Plusieurs extensions ont été proposées dans la littérature.

Exemple d'utilisation : détection de contours

La détection de contours représente une tâche importante en traitement d'images. La morphologie mathématique propose des outils non-linéaires de détection de contours, comme le gradient et le laplacien morphologiques.

Le gradient morphologique, aussi appelé gradient de Beucher du nom de son inventeur, est défini par:

$\operatorname{grad}_B(X) = \delta_B(X) - \epsilon_B(X)$

Il correspond, en quelque sorte, à la version morphologique du module du gradient euclidien. Le laplacien morphologique est construit de façon analogue:

$\operatorname{Lap}_B(X) = \delta_B(X) + \epsilon_B(X) - 2I$

où $I$ correspond à l'opérateur identité.

Opérateurs connexes, nivellements

Segmentation

Article détaillé : Ligne de partage des eaux (segmentation).

Segmenter une image à niveaux de gris consiste à produire une partition du support de l'image, de façon à ce que les régions de la partition correspondent avec les objets présents dans l'image.

Les filtres morphologiques constituent une aide précieuse dans un processus de segmentation. En particulier, les nivellements permettent de filtrer les images tout en préservant les contours importants, ce qui simplifie l'opération de segmentation proprement dite. Dans certains cas, un filtrage important peut de lui-même produire une partition pertinente. Mais l'outil morphologique le plus connu en segmentation d'images est la ligne de partage des eaux.

Il existe plusieurs algorithmes de segmentation par ligne de partage des eaux. L'idée de base consiste à simuler une inondation de l'image, vue comme un relief topographique où le niveau de gris correspond à l'altitude. Les frontières entre régions de la partition ont alors tendance à se placer sur les lignes de crête. Typiquement, on applique cet opérateur au gradient de l'image (norme du gradient euclidien, ou gradient morphologique) que l'on cherche à segmenter, et par conséquent les frontières se placent de façon privilégiée sur les lignes de gradient élevé.

Plusieurs algorithmes de calcul de ligne de partage des eaux ont une complexité linéaire en fonction du nombre de pixels de l'image, ce qui les place parmi les méthodes de segmentation les plus rapides.

Ensembles aléatoires

Quantification

Notes

↑ La dilation est aussi souvent définie en utilisant le symétrique de l'élément structurant:

$\delta_B(X) = X \oplus \breve{B}$

On gagne alors la dualité entre érosion et dilatation, mais on perd l'adjonction. Il faut alors modifier les définitions de l'ouverture et de la fermeture morphologiques en conséquence. Lorsque l'élément structurant est symétrique, cette distinction n'a pas d'importance.

Bibliographie

En français

Georges Matheron, Eléments pour une théorie des milieux poreux, Masson, Paris, 1967.
Michel Schmitt et Juliette Mattioli, Morphologie Mathématique, Masson, Paris, 1993.
Laurent Najman et Hugues Talbot (dir.), Morphologie Mathématique 1 : approches déterministes, Hermès - Lavoisier, Paris, 2008

En anglais

Georges Matheron, Random Sets and Integral Geometry, Wiley, New York, 1975.
Georges Matheron, Estimating and Choosing, Springer–Verlag Berlin, Heidelberg, 1989.
Jean Serra, Image Analysis and Mathematical Morphology (vol.1), Academic Press, Londres, 1982.
Jean Serra (dir.), Image Analysis and Mathematical Morphology (Vol.2) : Theoretical Advances, Academic Press, Londres, 1988.
Charles R. Giardina et Edward R. Dougherty, Morphological Methods in Image and Signal Procesing, Prentice-Hall, New Jersey, 1988.
H.J.A.M Heijmans, Morphological image operators, Academic Press, coll. "Advances in Electronics and Electron Physics", Boston 1994.
Pierre Soille, Morphological image analysis, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1999 (2nd edition 2003).

Liens externes

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