Observabilité

Observabilité

On considérera dans cet article les systèmes linéaires invariants (SLI) définis par la représentation d'état suivante :

\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X + D U \end{cases}

Un système est dit observable si l'observation de ses entrées et sorties pendant un intervalle de temps fini [ti;tf] permet de retrouver l'état initial x(ti). En fait, puisqu'il est possible pour les SLI d'avoir une solution analytique, l'observabilité est donc une propriété intéressante qui nous permet d'affirmer que l'on peut connaître l'état x(t) à tout instant compris dans l'intervalle [ti;tf].

Sommaire

Critère de Kalman pour l'observabilité des systèmes linéaires invariants

Dans un cas plus général, le système est observable si et seulement si :

rang(\mathcal{O}) = rang\begin{bmatrix}C\\ CA\\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n

La matrice \mathcal{O} est appelée la matrice d'observabilité, et ses lignes se calculent facilement de façon itérative : CAk + 1 = CAk * A.

Dualité observabilité / commandabilité

Il existe un principe de dualité entre l'observabilité et la commandabilité : soient deux systèmes :

S : \begin{cases}\dot X = AX+BU \\ Y=CX\end{cases} S^* : \begin{cases}\dot X^* = A^TX^*+C^TU^* \\ Y^*=B^TX^*\end{cases}

Détectabilité

L'observabilité est une propriété structurelle forte du système. Il est souvent suffisant d'utiliser la propriété de détectabilité. Cette dernière propriété peut se définir de plusieurs façons équivalentes, un système est dit détectable ssi :

  • Ses pôles non observables sont stables.
  • Il existe une matrice de gain d'observateur d'état K tel que la matrice (A − KC) soit Hurtwitz.

Forme canonique pour l'observabilité

Il est souvent intéressant de séparer les variables d'état observables des autres. Notons χ la partition observable du vecteur d'état, et ξ le reste du vecteur d'état, non observable. Le système s'écrit alors :

\begin{bmatrix} \dot \chi \\ \dot \xi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix}U

y = \begin{bmatrix} C_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix}

La forme canonique pour l'observabilité est caractérisée par l'absence des termes A12 et C2 qui sont donc nuls. Sous cette forme, le système est alors détectable ssi la matrice A22 est Hurtwitz.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Observabilité de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Observabilite — Observabilité On considérera dans cet article les systèmes linéaires invariants (SLI) définis par la représentation d état suivante : Un système est dit observable si l observation de ses entrées et sorties pendant un intervalle de temps… …   Wikipédia en Français

  • observabilité — n. f. Didac. Qualité de ce qui est observable. observabilité [ɔpsɛʀvabilite] n. f. ÉTYM. 1967, Piaget; de observable, et ité. ❖ ♦ Didact. Caractère de ce qui est observable. || « Franchir… un seuil d observabilit …   Encyclopédie Universelle

  • observabilité — stebimumas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. observability vok. Beobachtbarkeit rus. наблюдаемость, f pranc. observabilité, f …   Automatikos terminų žodynas

  • indice d'observabilité — stebimumo rodiklis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. observability index vok. Beobachtbarkeitsindex rus. индекс наблюдаемости, m pranc. indice d observabilité, m …   Automatikos terminų žodynas

  • Représentation d'état — En automatique, une représentation d état permet de modéliser un système dynamique sous forme matricielle en utilisant des variables d état. On se place alors dans un espace d état. Cette représentation, qui peut être linéaire ou non linéaire,… …   Wikipédia en Français

  • Forme d'état — Représentation d état En automatique, une représentation d état permet de modéliser un système dynamique sous forme matricielle en utilisant des variables d état. On se place alors dans un espace d état. Cette représentation, qui peut être… …   Wikipédia en Français

  • Modèle d'état — Représentation d état En automatique, une représentation d état permet de modéliser un système dynamique sous forme matricielle en utilisant des variables d état. On se place alors dans un espace d état. Cette représentation, qui peut être… …   Wikipédia en Français

  • Representation d'etat — Représentation d état En automatique, une représentation d état permet de modéliser un système dynamique sous forme matricielle en utilisant des variables d état. On se place alors dans un espace d état. Cette représentation, qui peut être… …   Wikipédia en Français

  • Vecteur d'état — Représentation d état En automatique, une représentation d état permet de modéliser un système dynamique sous forme matricielle en utilisant des variables d état. On se place alors dans un espace d état. Cette représentation, qui peut être… …   Wikipédia en Français

  • Commandabilite — Commandabilité Un système est dit commandable si quel que soit x(ti) l état à l instant initial, et quel que soit x(tf) l état à l instant final, il existe une commande u(t), appliquée sur un intervalle de temps fini [ti;tf], qui permet de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”