Nombre premier régulier

Nombre premier régulier

En mathématiques, un nombre premier impair est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme xp-1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer, pour une preuve du Dernier théorème de Fermat en 1847[1], dans un article intitulé Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von xλ+yλ=zλ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ.

Plusieurs formulations équivalentes sont possibles pour définir la régularité d'un nombre premier. L'une d'entre elles est que le nombre premier p ne doit pas être un diviseur du nombre de classes (c'est-à-dire du cardinal du groupe des classes) du corps cyclotomique ℚ(ζp), où ζp est une racine primitive p-ème de l'unité. Une manière de tester l'irrégularité en pratique est donnée par la caractérisation suivante : le nombre premier p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli Bk, pour k prenant les valeurs paires entre 2 et p-3.

Les plus petits nombres premiers irréguliers sont[2] : 37, 59, 67, 101.

Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de Metsänkylä (fi)[3] assure que pour tout sous-groupe propre H du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ, il existe une infinité d'entiers premiers irréguliers dont la classe modulo n n'appartient pas à H.

En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte[4].

Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si p est un nombre premier régulier, l'équation xp+yp=zp n'a pas de solutions pour x, y et z entiers relatifs tous non divisibles par p. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :

\prod_{i=0}^{p-1}(x+\zeta_p^iy)=z^p,

dans le corps ℚ(ζp). Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux (x+\zeta_p^iy) et l'idéal (z) élevé à la puissance p. Il peut être montré que les idéaux (x+\zeta_p^iy) sont premiers entre eux, la théorie de la décomposition des idéaux premiers, et celle des anneaux de Dedekind permet d'assurer que chacun est la puissance p-ème d'un certain autre idéal Ai ; l'idéal Aip est principal, l'hypothèse que le nombre p est régulier (il n'est pas diviseur du nombre de classes de ℚ(ζp)), montre alors que l'idéal Ai lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme x+\zeta_p^iy=\epsilon\alpha^p, pour une certaine unité \epsilon. Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.

Notes et références

  1. ↑ Washington 1997, notes du chapitre 1.
  2. ↑ suite A000928 de l’OEIS
  3. ↑ Washington 1997, p. 84
  4. ↑ En dépit du titre de l'article de Kummer.

(en) Lawrence C. Washington (de), Introduction to cyclotomic fields, 1997 [détail de l’édition] 

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