Nombre premier cubain

Nombre premier cubain

En mathématiques, un nombre premier cubain est un nombre premier qui est une solution d'une des deux équations précises différentes impliquant des puissances troisièmes de x et y, d'où le nom (rôle joué par les cubes). La première de ces équations est :

p = \frac{(x^3 - y^3)}{(x - y)}, x = y + 1, y > 0\,

et les premiers nombres premiers cubains provenant de cette équation sont :

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10 267, 11 719, 12 097, 13 267, 13 669, 16 651, 19 441, 19 927, 22 447, 23 497, 24 571, 25 117, 26 227...

Le nombre premier général de cette sorte peut être réécrit sous la forme

\frac{(y+1)^3 - y^3)}{(y + 1 - y)}\,, qui se simplifie en 3y^2 + 3y + 1\,. Ceci est la forme générale exacte d'un nombre hexagonal centré ; c'est-à-dire, tous ces nombres premiers cubains sont des nombres hexagonaux centrés.

Cette sorte de nombres premiers cubains a été recherchée par A. J. C. Cunningham, dans un article intitulé On quasi-Mersennian numbers.

La deuxième de ces équations est

p = \frac{(x^3 - y^3)}{(x - y)}, x = y + 2\,

et les premiers nombres premiers cubains provenant de cette équation sont :

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10 093, 12 289, 13 873, 18 253, 20 173, 21 169, 22 189, 28 813, 37 633, 43 201, 47 629, 60 493, 63 949, 65 713, 69 313...

Cette sorte de nombres premiers cubains a aussi été recherchée par Cunningham, dans son livre Binomial Factorisations.


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