Nombre narcissique

Nombre narcissique

Un nombre narcissique (ou nombre d'Armstrong de première espèce, ou - en anglais - PPDI, pour pluperfect digit invariant)[1] est un entier naturel n non nul qui est égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres en base dix, où p désigne le nombre de chiffres de n :

n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^p\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}\quad\text{et}\quad x_{p-1}\ne 0~.

Sommaire

Exemples

  • Tous les entiers de 1 à 9 sont narcissiques.
  • Les vingt premiers termes de la suite des 88 nombres narcissiques (suite A005188 de l’OEIS) sont :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834.

  • 153 = 13 + 53 + 33
  • 548834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46

Variantes des nombres d'Armstrong

  • Un nombre d'Armstrong[2] de quatrième espèce, ou perfect digit invariant (PDI) est un entier n qui est égal à la somme des puissances q-ièmes de ses chiffres, mais cette fois pour un entier q > 0 quelconque, non nécessairement égal au nombre p de chiffres de n (un tel n n'est donc généralement pas un nombre narcissique) :
n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^q\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}, pour un certain q > 0.

Intuitivement, il est clair que si p est le nombre exact de chiffres de n et augmente, q tend à augmenter.

Démonstration

Comme x_{p-1}\neq 0, n\ge 10^{p-1}. D'autre part, n=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^q\leq 9^qp. D'où 9^qp\ge 10^{p-1}.

Par théorème de croissance comparée, il vient que pour un p donné, q est nécessairement au-dessus d'un rang donné, qui croît avec p.

Remarque : cela ne prouve pas pour autant l'existence de q !

  • Un nombre d'Armstrong n de deuxième espèce vérifie quant à lui :
n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^{k+1}\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}.
  • On peut également considérer les nombres d'Armstrong dans une base autre que 10.

Corollaire

Par extension, on parle aussi de nombre narcissique pour un entier qui peut être découpé en tranches égales d'un ou de plusieurs chiffres et dont la somme de ces tranches, élevée à une puissance entière naturelle, est égale à lui-même[réf. nécessaire].

Exemple :

3025 = (30 + 25)2
4913 = (4 + 9 + 1 + 3)3

On entend même aujourd'hui parler de nombre narcissique pour un entier pouvant être découpé en tranches égales, et dont la somme de chaque tranche élevée à une puissance donne le nombre d'origine[réf. nécessaire].

Exemple :

1000 = 103 + 003

Les nombres dont la somme des factorielles de chacun des chiffres est égale au nombre d'origine sont aussi dits narcissiques[réf. nécessaire].

Exemple :

145 = 1! + 4! + 5!

Référence


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre narcissique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Nombre Narcissique — Un nombre narcissique n est un entier naturel pour lequel il existe un entier positif ou nul p tel que la somme de chacun des chiffres de n mis à la puissance p est égale à n. Mathématiquement : Soit . On définit le i uplet d entiers… …   Wikipédia en Français

  • Narcissique — Narcissisme Le narcissime désigne l amour de soi ou l importance excessive accordée à l image de soi. Sommaire 1 En psychiatrie 2 En psychanalyse 3 Origine mythologique 4 Narcissisme et socié …   Wikipédia en Français

  • 153 (nombre) — Cet article est relatif au nombre 153. Pour l année, voir 153. 153 (nombre) Cardinal Cent cinquante trois Ordinal Cent cinquante troisième 153e Préfixe grec …   Wikipédia en Français

  • 313 (nombre) — Cardinal Trois cent treize Ordinal Trois cent treizième 313e Adverbe Trois cent treizièmement …   Wikipédia en Français

  • Narcissisme — Le narcissisme est le fondement de la confiance en soi. Lorsqu il est défaillant, le terme peut désigner l importance excessive accordée à « l image » de soi. Le dictionnaire commun le définit comme « contemplation de soi ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Coïncidence mathématique — En mathématiques, une coïncidence mathématique est une expression de quasi égalité entre deux quantités, sans qu’il y ait une explication théorique directe. Sommaire 1 Introduction 2 Quelques exemples 2.1 Formules avec π 2.2 …   Wikipédia en Français

  • Jean Laplanche — (né en 1924), philosophe de formation, est un psychanalyste « de la troisième génération ». L importance de son œuvre se mesure à l aune de l avancée scientifique que propose la psychanalyse en France après Freud : les travaux de… …   Wikipédia en Français

  • Rorscha — Test de Rorschach La première planche parmi les dix du test de Rorschach Le test de Rorschach ou psychodiagnostik est un outil d évaluation psychologique de type projectif élaboré par le psychiatre et psychanalyste Hermann Rorschach en 1921. Il… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”