Nombre de kaprekar

Nombre de kaprekar

Nombre de Kaprekar

En mathématiques, un nombre de Kaprekar est un nombre qui, dans une base donnée, lorsqu'il est élevé au carré, peut être séparé en une partie gauche et une partie droite (non nulle) telles que la somme donne le nombre initial.

Exemples
703 est un nombre de Kaprekar en base 10 car 703² = 494 209 et que 494 + 209 = 703.
4879 est un nombre de Kaprekar en base 10 car 4879² = 23 804 641 et 04641 + 238 = 4879

Les nombres de Kaprekar ont été principalement étudiés par D.R. Kaprekar, mathématicien indien.

Sommaire

n-nombre de Kaprekar

Soit n un entier naturel non nul, k est un n-nombre de Kaprekar dans la base a si et seulement s'il existe deux entiers naturels u quelconque et 0 < v < an tels que

k2 = u.an + v
k = u + v

La liste des premiers n-nombres de Kaprekar dans la base 10 est la suivante :

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

Dans l'inventaire que fait, en 1980, D.R. Kaprekar, il oublie étonnamment tous les nombres de la forme 10n − 1 ainsi que les nombres 181819 et 818181. L'erreur est rectifiée en 1981 par M. Charosh qui met au point une méthode de génération de grands nombres de Kaprekar.

En 2000, Douglas Iannucci, dans le Journal of integer sequence démontre que les n-nombres de Kaprekar de base 10 sont en bijection avec les diviseurs unitaires de 10n − 1 et montre comment les obtenir à partir de la décomposition de 10n − 1 en facteurs premiers. Il démontre en outre que, si k est un n-nombre de Kaprekar, il en est de même de 10nk

Exemple
pour n = 2, 102 − 1 = 99 qui se divise de 2 façons à l'aide de diviseurs unitaires distincts de 1
99 = 9 × 11. Or 45 est le plus petit multiple de 9 congru à 1 modulo 11 et 45 est un 2-nombre de Kaprekar.
99 = 11 × 9. Or 55 est le plus petit multiple de 11 congru à 1 modulo 9 et 55 est un 2-nombre de Kaprekar
On remarque de plus que 55 + 45 = 102.
pour n = 3, 103 − 1 = 999 qui se divise de 2 façons à l'aide de diviseurs unitaires distincts de 1
999 = 27 × 37. Or 297 est le plus petit multiple de 27 congru à 1 modulo 37 et 297 est un 3-nombre de Kaprekar.
999 = 37 × 27 et 703 est le plus petit multiple de 37 congru à 1 modulo 27 et 703 est un 3-nombre de Kaprekar.
Enfin, on remarque que 297 + 703 = 103.

Iannucci démontre d'autre part que les nombres de Kaprekar en base 2 sont tous les nombres parfaits pairs

Nombre de Kaprekar naturel

Certains articles imposent aux carrés des nombres de Kaprekar une décomposition en deux parties de tailles quasi-égales. En fait, un entier naturel k de n chiffres est dit de Kaprekar naturel si son carré se décompose en une partie droite de n chiffres et une partie gauche de n ou n - 1 chiffres telles que leur somme donne k. En imposant cette condition supplémentaire, la liste des nombres de Kaprekar se trouve être amoindrie

Liste des premiers nombres de Kaprekar naturels en base 10:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 77778,....

Voir aussi

Article connexe

Références

Lien externe

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Nombre de Kaprekar ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre de kaprekar de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Nombre De Kaprekar — En mathématiques, un nombre de Kaprekar est un nombre qui, dans une base donnée, lorsqu il est élevé au carré, peut être séparé en une partie gauche et une partie droite (non nulle) telles que la somme donne le nombre initial. Exemples 703 est un …   Wikipédia en Français

  • Nombre de Kaprekar — En mathématiques, un nombre de Kaprekar est un nombre qui, dans une base donnée, lorsqu il est élevé au carré, peut être séparé en une partie gauche et une partie droite (non nulle) telles que la somme donne le nombre initial. Exemples 703 est un …   Wikipédia en Français

  • Kaprekar — Dattatreya Ramachandra Kaprekar Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905 1988) est un mathématicien indien célèbre pour ses recherches sur les nombres. On lui doit la notion de nombre de Kaprekar ainsi que l algorithme de Kaprekar. Boudé par ses… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Parfait — Un nombre parfait est un nombre entier n strictement supérieur à 1 qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que où σ(n) est la somme des diviseurs entiers positifs de n, n non compris. Le premier nombre parfait est 6,… …   Wikipédia en Français

  • Nombre de Harshad — Nombre Harshad Un nombre Harshad, ou nombre de Niven, ou nombre multinumérique est un entier qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. Le nom de Harshad leur a été donné par le mathématicien Dattatreya Ramachandra… …   Wikipédia en Français

  • Nombres de Kaprekar — Nombre de Kaprekar En mathématiques, un nombre de Kaprekar est un nombre qui, dans une base donnée, lorsqu il est élevé au carré, peut être séparé en une partie gauche et une partie droite (non nulle) telles que la somme donne le nombre initial.… …   Wikipédia en Français

  • Nombre parfait — Un nombre parfait est un entier naturel n tel que où σ(n) est la somme des diviseurs entiers positifs de n. Cela revient à dire qu un entier naturel est parfait s il est la somme de ses diviseurs propres. Ainsi 6 est un nombre parfait car 2 × 6 …   Wikipédia en Français

  • Nombre Harshad — Un nombre Harshad, ou nombre de Niven, ou nombre multinumérique est un entier qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. Le nom de Harshad leur a été donné par le mathématicien Dattatreya Ramachandra Kaprekar et signifie …   Wikipédia en Français

  • D.R. Kaprekar — Dattatreya Ramachandra Kaprekar Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905 1988) est un mathématicien indien célèbre pour ses recherches sur les nombres. On lui doit la notion de nombre de Kaprekar ainsi que l algorithme de Kaprekar. Boudé par ses… …   Wikipédia en Français

  • Dattatreya Ramachandra Kaprekar — (1905 1988) est un mathématicien indien connu pour ses recherches sur les nombres. On lui doit la notion de nombre de Kaprekar ainsi que l algorithme de Kaprekar. Boudé par ses contemporains, ses travaux seraient passés inaperçus s il n avait pas …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”