Nombre de Skewes

En mathématiques, plus précisément en théorie des nombres, le nombre de Skewes peut faire référence à plusieurs nombres extrêmement grands utilisés par le mathématicien sud-africain Stanley Skewes (en).

Par définition, le nombre est le plus petit nombre naturel x pour lequel

où est la fonction de compte des nombres premiers et li(x), le logarithme intégral.

John Edensor Littlewood, professeur de Skewes, a démontré en 1914 qu'il existe de tels nombres (et donc, un plus petit parmi eux) et a trouvé que la différence change de signe une infinité de fois. Qu'un tel nombre existe n'était pas tout à fait clair à l'époque, car tous les résultats numériques disponibles semblaient suggérer que est toujours inférieur à li(x). La démonstration de Littlewood n'exhibait néanmoins pas un tel nombre x concret : elle n'était pas un résultat effectif.

Skewes démontra en 1933 qu'en supposant vraie l'hypothèse de Riemann, il existe un tel nombre x, inférieur à

Ce majorant (maintenant quelquefois appelé premier nombre de Skewes) est lui-même majoré par

En 1955, sans l'hypothèse de Riemann, il est parvenu à démontrer qu'il existe un tel x inférieur à

(quelquefois appelé deuxième nombre de Skewes).

Ces majorants (énormes) ont depuis été réduits considérablement : sans l'hypothèse de Riemann, Herman te Riele (en) donna en 1987 le majorant

et une meilleure estimation,

fut découverte en 2000 par Bays et Hudson.

L'apport de Skewes fut de rendre effective la démonstration d'existence de Littlewood : en exhibant une certaine borne supérieure concrète pour le premier changement de signe. Selon Georg Kreisel, même le principe de cette méthode n'était pas considéré comme évident à cette époque. L'approche appelée débobinage (unwinding) en théorie de la démonstration consiste à étudier directement la structure d'une preuve pour produire une borne. L'autre manière, plus souvent pratiquée en théorie des nombres, consiste à modifier suffisamment la structure de la preuve pour rendre plus explicites les constantes absolues.

Le résultat de Skewes acquit la célébrité en partie parce que la structure de la preuve utilisait le principe du tiers exclu,^{[réf. souhaitée]} qui n'est pas a priori un argument constructif (il se divise en deux cas, dont on ne sait pas calculer lequel est vrai).

Bien que les deux nombres de Skewes soient grands comparés à la plupart des nombres rencontrés dans les démonstrations mathématiques, ni l'un ni l'autre n'est proche du nombre de Graham.

Références

• J.E. Littlewood: "Sur la distribution des nombres premiers", Comptes Rendus 158 (1914), pages 1869-1872
• (en) S. Skewes: "On the difference π(x) − li(x)", Journal of the London Mathematical Society 8 (1933), pages 277-283
• (en) S. Skewes: "On the difference π(x) − li(x) (II)", Proceedings of the London Mathematical Society 5 (1955), pages 48-70
• (en) H.J.J. te Riele: "On the difference π(x) − li(x)", Math. Comp. 48 (1987), pages 323-328

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Skewes' number » (voir la liste des auteurs)

• Portail des mathématiques