Application contractante

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une application contractante est une application $k$ -lipschitzienne avec $0\leq k <1$ . Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.

Sommaire

1 Théorème du point fixe pour une application contractante
- 1.1 Existence
- 1.2 Unicité
2 Approximations successives
3 Applications classiques
4 Annexes
- 4.1 Note
- 4.2 Article connexe

Théorème du point fixe pour une application contractante

Théorème du point fixe pour une application contractante — Soit $E$ un espace métrique complet (non vide) et $f$ une application contractante de $E$ dans $E$ . Il existe un point fixe unique $x *$ de $f$ dans $E$ , c'est-à-dire tel que $f (x *) = x *$ . De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence $x n + 1 = f (x n)$ converge vers $x *$ .

Démonstration

Soit $(E, d)$ un espace métrique complet non vide et soit $f:E \rightarrow E$ une application contractante de rapport $k$ , avec $0\leq k <1$ .

Existence

Soit $x_0\in E$ et soit $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ la suite définie par son premier terme ( $x 0$ ) et la récurrence $x n + 1 = f (x n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Il s'agit d'une suite de Cauchy de $E$ . En effet,

$\forall m \in \mathbb N^*,\ d(x_{m+1},x_m)=d(f(x_m),f(x_{m-1}))\le k d(x_m,x_{m-1});$

et par récurrence

$d(x_{m+1},x_m) \le k^m d(x_1,x_0).$

On en déduit par application réitérée de l'inégalité triangulaire :

$\begin{array}{ll} \forall n \in \mathbb N,\ \forall p \in \mathbb N^*,\ d(x_{n+p},x_n) & \le d(x_{n+1},x_n)+d(x_{n+2},x_{n+1})+\ldots+d(x_{n+p},x_{n+p-1})\\ & \le (k^n+k^{n+1}+\ldots+k^{n+p-1}) d(x_1,x_0)\\& \le \displaystyle k^n\frac {1-k^p}{1-k} d(x_1,x_0) \quad (*).\end{array}$

Ce dernier membre tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini, donc on a bien une suite de Cauchy.

Comme $E$ est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite $x *$ . De plus de $x n + 1 = f (x n)$ , on déduit en passant à la limite et en utilisant la continuité de $f$ (car c'est une application lipschitzienne) que $f (x *) = x *$ , ce qui montre l'existence.

Unicité

Soit $x *$ et $x * *$ deux points fixes de f. On a alors

$0\leq d(x^*,x^{**}) = d(f(x^*),f(x^{**}))\leq k d(x^*,x^{**}).$

Et puisque $0\leq k <1$ , on a alors $0\leq (1-k)d(x^*,x^{**}) \leq 0$ , d'où

d (x *, x * *) = 0

, puis

x * = x * *

, ce qui montre l'unicité.

Ce théorème est souvent mentionné comme Théorème du point fixe de Banach, qui l'a énoncé en 1922 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales^[1].

Approximations successives

Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus en passant à la limite pour $p$ dans l'inégalité (*) et en utilisant la continuité de la distance $d$ , on obtient (sans connaître exactement $x *$ ) un majorant (souvent "pessimiste") de l'erreur:

$d(x^*,x_n) \leq \frac {k^n}{1-k} d(x_1,x_0).$

Remarquons que si on note $k n$ le rapport de Lipschitz de l'itérée $n$ fois de l'application $f$ on a majoré $k n$ par $k n$ . Cette majoration est souvent très mauvaise, ce qui explique que la majoration précédente de $d (x *, x n)$ soit souvent pessimiste. On peut alors énoncer un théorème du point fixe légèrement modifié qui permet d'aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles)

Théorème du point fixe modifié — Soit $E$ un espace métrique complet (non vide) et $f$ une application de $E$ dans $E$ . On suppose que pour tout entier $n$ l'application obtenue en itérant $n$ fois la fonction $f$ est lipschitzienne de rapport $k n$ et que la série de terme général $k n$ est convergente. Alors il existe un point fixe unique $x *$ de $f$ dans $E$ , c'est-à-dire tel que $f (x *) = x *$ . De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence $x n + 1 = f (x n)$ converge vers $x *$ .

Dans ce cas on a la majoration

$d(x^*,x_n) \leq \left(\sum_{i=n}^{\infty}k_i\right)d(x_1,x_0).$

Applications classiques

Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton
Résolution approchée de systèmes linéaires par itération
Résolution d'équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz
Théorème des fonctions implicites

Annexes

Note

↑ S. Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, Fund. Math. 3(1922), pp .133-181

Regardez d'autres dictionnaires:

Application Contractante — En mathématiques, une application contractante est une application k lipschitzienne avec . Les applications contractantes sont la matière de base du théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé. Sommaire 1 Théorème du point fixe pour… … Wikipédia en Français
Application non expansive — En mathématiques, une application non expansive entre espaces normés est une application L lipschitzienne dont le module L = 1. Il s agit donc du cas limite des applications contractantes, pour lesquelles L < 1. Contrairement à ces dernières,… … Wikipédia en Français
Application Lipschitzienne — En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c est une fonction qui est limitée dans… … Wikipédia en Français
Fonction contractante — Application contractante En mathématiques, une application contractante est une application k lipschitzienne avec . Les applications contractantes sont la matière de base du théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé. Sommaire 1… … Wikipédia en Français
Application lipschitzienne — En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c est une fonction qui est limitée dans… … Wikipédia en Français
Théorème du point fixe de Banach — Application contractante En mathématiques, une application contractante est une application k lipschitzienne avec . Les applications contractantes sont la matière de base du théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé. Sommaire 1… … Wikipédia en Français
Théorème du point fixe de Picard — Application contractante En mathématiques, une application contractante est une application k lipschitzienne avec . Les applications contractantes sont la matière de base du théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé. Sommaire 1… … Wikipédia en Français
Theoreme de Cauchy-Lipschitz — Théorème de Cauchy Lipschitz Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Cauchy développe une première version du théorème de l article. Le … Wikipédia en Français
Théorème de Picard-Lindelöf — Théorème de Cauchy Lipschitz Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Cauchy développe une première version du théorème de l article. Le … Wikipédia en Français
Théorème de cauchy-lipschitz — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Cauchy développe une première version du théorème de l article. Le … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Application contractante

Sommaire