Application De Gauss

Application de Gauss

En géométrie différentielle classique, l'application de Gauss est une application naturelle différentiable sur une surface de $R 3$ , à valeurs dans la sphère unité $S 2$ , et dont la différentielle permet d'accéder à la seconde forme fondamentale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Application de Gauss

Soit $Σ$ une surface orientée de classe $C k + 1$ de $R 3$ .

Pour $P$ un point de $Σ$ , il existe un unique vecteur normal unitaire $Γ(P)$ compatible avec l'orientation de $Σ$ . L'application de Gauss est l'application de classe $C k$ :

$\Gamma : \Sigma\rightarrow S^2 \,$

On dispose d'une identification naturelle :

$T_P\Sigma=T_{\Gamma(P)}S^2 \,$

Endomorphisme de Weingarten

La différentielle de l'application de Gauss, vue comme opérateur linéaire de $T P Σ$ , est un opérateur symétrique (appelé endomorphisme de Weingarten) dont la forme quadratique associée est la seconde forme fondamentale $I I P$ de $Σ$ en P.

De manière plus précise, pour tout vecteur tangent $w\in T_P\Sigma$ , on a :

$II_P(w)=-\langle d\Gamma(P)w|w \rangle \,$

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Catégories : Géométrie différentielle classique | Carl Friedrich Gauss

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