Méthode des moments d'aires

Méthode des moments d'aires

La méthode des « moments d'aires » concerne la déformation des poutres en flexion, et permet de calculer la pente et la flèche d'une poutre.

La méthode des moments d'aires est une méthode par intégration géométrique permettant de calculer la déformée d'une poutre en la reliant à un diagramme M/EI.

Sommaire

La méthode des moments d'aire

Considérons une poutre rectiligne. Après déformation, sa courbe moyenne a pour équation

y = uy(x),

uy(x) étant la flèche à l'abscisse x considérée. La pente φ est la dérivée de cette courbe :

\varphi = \frac{\mathrm{d} u_y}{\mathrm{d} x}.

Le rayon de courbure ρ vérifie

\frac{1}{\rho} \simeq \frac{\mathrm{d}^2 u_y}{\mathrm{d} x^2}.

La théorie des poutres nous donne

\frac{1}{\rho} = \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\mathrm{E} \mathrm{I}_{\mathrm{G}z}}

où

On a donc :

d \varphi = \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\mathrm{E} \mathrm{I}_{\mathrm{G}z}} \mathrm{d} x

La variation de pente entre deux point A et B de la poutre s'écrit :

\varphi_{\mathrm{AB}} = \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{d} \varphi = \int_{x_\mathrm{A}}^{x_\mathrm{B}} \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\mathrm{E} \mathrm{I}_{\mathrm{G}z}} \mathrm{d} x

Cela représente l'aire, comprise entre xA et xB, sous la courbe Mfz/EIGz :

\varphi_{\mathrm{AB}} = \left\lbrack \text{aire sous}\ \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\mathrm{E} \mathrm{I}_{\mathrm{G}z}} \right\rbrack_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}.

Les théorèmes de la méthode des moments d'aire

La méthode des moments d'aires est basée sur deux théorèmes dits théorèmes des moments d'aires.

Théorème I : variation de la pente

Théorème II : flèche tangentielle

Voir aussi

  • Méthode de Mohr
  • Fonctions de singularités
  • Méthode de superposition

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Méthode des moments d'aires de Wikipédia en français (auteurs)

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