Méthode de la phase stationnaire

Méthode de la phase stationnaire

En mathématiques, la méthode de la phase stationnaire permet d'évaluer le comportement asymptotique d'une intégrale du type :

I(\lambda) = \int_a^b f(x) e^{i \lambda g(x)} \, dx\,

lorsque \lambda\rightarrow +\infty. (avec i2 = − 1)

Sommaire

Idée générale

Le comportement de l'intégrale est approché par son comportement au voisinage des bornes d'intégration mais aussi au voisinage du point où la phase λg(x) est stationnaire, c’est-à-dire pour les points x_s\, tels que la dérivée de g soit nulle, i.e. g'(x_s) = 0\,.

Lorsqu'il existe un ou plusieurs points stationnaires, la contribution principale de l'intégrale sera donnée uniquement par l'expression approchée de l'intégrale au voisinage de ces points, lorsque \lambda \to +\infty. L'erreur commise par cette méthode est de l'ordre de O\left( 1/\lambda \right)\, dans la notation de Landau.

Hypothèses

f(x) et g(x) sont des fonctions continues et dérivables (la dérivée de g est aussi continue) d'une variable réelle x sur le segment [a,b], soit :

(i) f \in \mathcal{C}[a,b]

(ii) g \in \mathcal{C}^2[a,b]

Cas de figure et résultats

plusieurs cas de figure peuvent être distingués :

  • g(x) ne possède pas de points stationnaires sur a \leq x \leq b. L'intégrale est alors approchée par intégration par parties successives :
I(\lambda) = \frac{f(b)}{i \lambda g'(b)} e^{i\lambda g(b)} - \frac{f(a)}{i \lambda g'(a)} e^{i\lambda g(a)} + O\left(\frac{1}{\lambda^2}\right)\,
  • g(x) possède un seul point stationnaire xs sur a < x < b

- Si g''(xs) > 0 :

I(\lambda) = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda g''(x_s)}}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{i \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)\,

- Si g''(xs) < 0 :

I(\lambda) = \sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda g''(x_s)}}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{-i \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)\,

Remarque 1: En notant σ = sgn(g''(xs)), les expressions précédentes peuvent être réduites à :

I(\lambda) = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda | g''(x_s)| }}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{i \sigma \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)\,

Remarque 2: Si g(x) possède plusieurs points stationnaires sur a < x < b, alors il convient de faire la somme des contributions de chacun des points stationnaires.

  • g(x) possède un seul point stationnaire correspondant à la borne inférieure de l'intégrale xs = a

I(\lambda) = \frac{f(b)}{i \lambda g'(b)} e^{i\lambda g(b)} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda | g''(x_s)| }}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{i \sigma \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)

  • g(x) possède un seul point stationnaire correspondant à la borne supérieure de l'intégrale xs = b

I(\lambda) = -\frac{f(a)}{i \lambda g'(a)} e^{i\lambda g(a)} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda | g''(x_s)| }}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{i \sigma \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)

Remarque 3: Cette approximation n'est pas valide lorsque le point stationnaire xs approche de l'une des bornes de l'intégrale. Par exemple, si le point stationnaire varie et dépasse la borne supérieure, l'approximation devient discontinue selon la position du point stationnaire: inférieur, égal ou supérieur à la borne supérieure. Dans ce cas, il convient alors d'utiliser une approximation asymptotique uniforme, faisant intervenir les intégrales de Fresnel.

Origine de la méthode

Cette méthode est dérivée de la méthode de Laplace. Lorsque l'intégration porte sur un domaine complexe (et non plus sur des bornes réelles), on utilise la généralisation complexe de cette méthode : la méthode de la plus grande pente ou la méthode du col (ou du point selle).

Références

  • N. Bleistein, R.A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986 [1975].
  • L.B. Felsen, N. Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves, IEEE-Wiley, 1994 [1972], chap. 4.
  • E.T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.
  • Harris and Kramer, Asymptotic Evaluation of the Ambiguity functions of high-gain FM Matched filter sonar systems-Harris Proceeding of IEEE VOL 56, No 12 December 1968, cas du point stationaire, formule (15).

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Méthode de la phase stationnaire de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Methode de la phase stationnaire — Méthode de la phase stationnaire En mathématiques, la méthode de la phase stationnaire permet d évaluer le comportement asymptotique d une intégrale du type : lorsque . (avec i2 = − 1) Sommaire 1 Idée générale …   Wikipédia en Français

  • Méthode De La Phase Stationnaire — En mathématiques, la méthode de la phase stationnaire permet d évaluer le comportement asymptotique d une intégrale du type : lorsque . (avec i2 = − 1) Sommaire 1 Idée générale …   Wikipédia en Français

  • Phase stationnaire — Chromatographie La chromatographie est une technique d analyse qualitative et quantitative de la chimie analytique dans laquelle l échantillon contenant une ou plusieurs espèces est entraîné par un courant de phase mobile (liquide, gaz ou fluide… …   Wikipédia en Français

  • Methode du point col — Méthode du point col En mathématiques, la méthode du point col (ou méthode de la descente rapide) permet d évaluer le comportement asymptotique d une intégrale complexe du type : lorsque . est un chemin d intégration du plan complexe. f et g …   Wikipédia en Français

  • Méthode Du Point Col — En mathématiques, la méthode du point col (ou méthode de la descente rapide) permet d évaluer le comportement asymptotique d une intégrale complexe du type : lorsque . est un chemin d intégration du plan complexe. f et g sont deux foncti …   Wikipédia en Français

  • Méthode de Laplace — En mathématiques, la méthode de Laplace, due à Pierre Simon de Laplace, est une méthode pour l évaluation numérique d intégrales de la forme : où f est une fonction deux fois dérivable, M est un grand nombre réel et les bornes a et b peuvent …   Wikipédia en Français

  • Méthode du point col — En mathématiques, la méthode du point col (ou méthode de la descente rapide) permet d évaluer le comportement asymptotique d une intégrale complexe du type : lorsque . est un chemin d intégration du plan complexe. f et g sont deux fonctions… …   Wikipédia en Français

  • Phase mobile — Chromatographie La chromatographie est une technique d analyse qualitative et quantitative de la chimie analytique dans laquelle l échantillon contenant une ou plusieurs espèces est entraîné par un courant de phase mobile (liquide, gaz ou fluide… …   Wikipédia en Français

  • Chromatographe en phase gazeuse — Chromatographie en phase gazeuse La chromatographie en phase gazeuse (CPG) est, comme toutes les techniques de chromatographie, une technique qui permet de séparer des molécules d un mélange éventuellement très complexe de nature très diverses.… …   Wikipédia en Français

  • Chromatographie En Phase Gazeuse — La chromatographie en phase gazeuse (CPG) est, comme toutes les techniques de chromatographie, une technique qui permet de séparer des molécules d un mélange éventuellement très complexe de nature très diverses. Elle s applique principalement aux …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”