- Antécédent (mathématiques)
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En mathématiques, étant donnés deux ensembles E, F et une application , on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément dont l'image par f est y, c'est-à-dire tout élément x de E tel que .
Un antécédent est donc, par définition, un élément de l'image réciproque .
Exemples
- Soient la fonction numérique et y un nombre réel.
- Si y > 0, y admet deux antécédents, qui sont et
- Si y = 0, y admet un seul antécédent, qui est 0
- Si y < 0, y n'admet aucun antécédent
- Soient E un ensemble et une application , où désigne l'ensemble des parties de E. On définit : Y est une partie de E, autrement dit un élément de l'ensemble .
- Cet élément n'admet aucun antécédent par f. En effet, supposons qu'un tel antécédent existe. On a donc .
- Deux cas sont possibles :
- , ce qui veut dire (par définition de Y) que , ou
- , ce qui veut dire (par définition de Y) que , ou
- Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction, ce qui prouve par l'absurde que Y n'a pas d'antécédent (cf. l'argument de la diagonale de Cantor).
Image d'un ensemble par une application
Soient une application et A un sous-ensemble de E. On appelle image de A par f l'ensemble des éléments de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note :
En particulier, l'image de E par f, appelée image de f, est l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent :
Injections, surjections, bijections
Soit une application .
- On dit que f est injective, ou que c'est une injection, si tout élément de F admet au plus un antécédent.
- On dit que f est surjective, ou que c'est une surjection, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si
- .
- On dit que f est bijective, ou que c'est une bijection, si tout élément de F admet un antécédent et un seul, c'est-à-dire si f est à la fois injective et surjective.
- Dans ce cas, on peut définir l'application , où x est l'unique antécédent de y par f. C'est aussi une bijection, dite réciproque de f.
(L'exemple vu plus haut montre qu'il n'existe aucune application surjective .)
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