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Mineur (algèbre linéaire)
Pour les articles homonymes, voir Mineur.En algèbre linéaire, les mineurs d'une matrice sont les déterminants de ses sous-matrices.
Ainsi si A est une matrice de taille m par n, on appelle mineur d'ordre k le déterminant d'une sous matrice carrée de taille k obtenue en supprimant m - k lignes et n - k colonnes de la matrice initiale.
Si A est une matrice carrée de taille n, les mineurs d'ordre n-1 permettent le calcul du déterminant de A, selon la formule dite de Laplace. Ils sont au signe près égaux aux cofacteurs.
Calcul du rang à l'aide des mineurs
Le rang d'une matrice est égal à l'ordre du plus grand mineur non nul de cette matrice.
Ainsi si on trouve un mineur non nul d'ordre r tel que tous les mineurs d'ordre supérieur sont nuls, le rang de la matrice est r.
Plus précisément, si la matrice est de rang r un mineur non nul d'ordre k est toujours « sous-matrice » (avec un abus de langage clair) d'un mineur non nul d'ordre r.
Ce qui veut dire qu'on peut utiliser l'algorithme suivant pour calculer le rang
- considérer un élément non nul de la matrice s'il en existe : on note i1,j1 ses indices
- chercher i2,j2 tels que la sous-matrice de taille 2 par 2 formée par les indices i1,i2 et j1,j2 ait un déterminant non nul
- continuer ainsi jusqu'à ce qu'on ne puisse plus ajouter de couple d'indices (ligne,colonne)
Lorsque l'algorithme s'arrête on connaît la valeur du rang.
Cet algorithme est nettement moins efficace en général que celui qui consiste à utiliser les opérations élémentaires selon la méthode du pivot de Gauss.Voir aussi
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Catégorie : Déterminant
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