- Mineur (algèbre linéaire)
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Pour les articles homonymes, voir Mineur.En algèbre linéaire, les mineurs d'une matrice sont les déterminants de ses sous-matrices.
Ainsi si A est une matrice de taille m par n, on appelle mineur d'ordre k le déterminant d'une sous-matrice carrée de taille k obtenue en supprimant m - k lignes et n - k colonnes de la matrice initiale.
On dit que le mineur est principal si c'est le déterminant d'une sous-matrice de A obtenue en extrayant les lignes et colonnes de mêmes indices ; ce que l'on peut noter det AI,I, où I est une partie non vide de
.Les mineurs principaux dominants[1] ou mineurs fondamentaux[réf. souhaitée] (parfois simplement appelés les mineurs principaux[2], ce qui prête plus à confusion qu'une expression telle que « le ke » mineur principal[3]) sont ceux correspondant aux parties I de la forme
.Si A est une matrice carrée de taille n, les mineurs d'ordre n-1 permettent le calcul du déterminant de A, selon la formule dite de Laplace. Ils sont au signe près égaux aux cofacteurs.
Calcul du rang à l'aide des mineurs
Le rang d'une matrice est égal à l'ordre du plus grand mineur non nul de cette matrice.
Ainsi si on trouve un mineur non nul d'ordre r tel que tous les mineurs d'ordre supérieur sont nuls, le rang de la matrice est r.
Plus précisément, si la matrice est de rang r un mineur non nul d'ordre k est toujours « sous-matrice » (avec un abus de langage clair) d'un mineur non nul d'ordre r (et donc
dans ce cas).Ce qui veut dire qu'on peut utiliser l'algorithme suivant pour calculer le rang
- considérer un élément non nul de la matrice s'il en existe : on note i1,j1 ses indices
- chercher i2,j2 tels que la sous-matrice de taille 2 par 2 formée par les indices i1,i2 et j1,j2 ait un déterminant non nul
- continuer ainsi jusqu'à ce qu'on ne puisse plus ajouter de couple d'indices (ligne,colonne)
Lorsque l'algorithme s'arrête on connaît la valeur du rang.
Cet algorithme est nettement moins efficace en général que celui qui consiste à utiliser les opérations élémentaires selon la méthode du pivot de Gauss.
Notes et références
- J. Abdeljaoued et H.Lombardi, Méthodes matricielles : introduction à la complexité algébrique, Springer, 2003 (ISBN 978-354020247-9) p. 3
- Jacques-Arthur Weil, Alain Yger, Mathématiques L3 - Mathématiques appliquées : Cours complet avec 500 tests et exercices corrigés, Pearson, 2009 (ISBN 978-274407352-6) p. 35
- A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saler, Méthodes numériques pour le calcul scientifique : programmes en MATLAB, Springer, 2000 (ISBN 9782287597015) p. 8
Articles connexes
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