Lemme de yoneda

Lemme de yoneda

Lemme de Yoneda

Dans l'étude des catégories, le lemme de Yoneda est une propriété de représentation des morphismes de foncteurs. Il permet de regarder les objets d'une catégorie comme des foncteurs sur cette catégorie, les foncteurs représentables ; il donne lieu à un plongement d'une catégorie dans une catégorie de foncteurs. Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des modèles acycliques, qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.

Sommaire

Lemme de Yoneda

Un objet A d'une catégorie C définit un foncteur covariant de C dans la catégorie Ens des ensembles par :

X\rightarrow h_A(X)=Hom_C(A,X)\,
f\rightarrow h_A(f)= g \mapsto g \circ f \,

De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant de C dans la catégorie Fonc(C,Ens) des foncteurs covariants de C dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie C induit un morphisme de hB dans hA. Le lemme de Yoneda affirme que ce sont les seuls morphismes dont on dispose ; mieux, il caractérise l'ensemble des morphismes de hA dans n'importe quel foncteur de C dans Ens.

Énoncé

Pour tout objet A d'une catégorie C, tout morphisme ψ de hA sur un foncteur T:C\rightarrowEns est uniquement défini par l'élément de T(A) défini comme l'image de IdA dans hA(A) par ψ(A). Plus précisément, on dispose d'une bijection :

Hom(h_A,T)\rightarrow T(A\,)
\psi\rightarrow \psi(A)(Id_A)\,

En particulier, pour tous objets A et B de C, on a :

Hom(h_A,h_B)=Hom(B,A)\,

h s'appelle le plongement de Yoneda.

Preuve

Injectivité

Avec les notations ci-dessus, considérons ψ un morphisme de hA sur T. Pour tout élément f dans hA(B) = HomC(A,B), on a :

f=h_A(f)(Id_A)\,

En appliquant à cette identité l'application ensembliste \psi(B):h_A(B)\rightarrow T(B), on obtient :

\psi(B)(f)=\psi(B)\left[h_A(f)(Id_A)\right]=T(f)\left[\psi(A)(Id_A)\right]

où la seconde égalité vient de la définition d'un morphisme de foncteurs. L'élément ψ(B)(f) est donc l'image de ψ(A)(IdA) par T(f). De fait, en faisant varier f, on montre que ψ est uniquement déterminé par ψ(A)(IdA). L'application énoncée est injective.

Surjectivité

Soit un élément v de T(A). La preuve de l'injectivité permet d'intuiter un (forcément unique) antécédent de v. Pour tout objet B de C, définissons :

\psi_v(B):h_A(B)\rightarrow T(B)\,
f\mapsto T(f)(v)

Vérifions que ψv est bien un morphisme de foncteurs. Pour toute flèche g:B\rightarrow C et pour tout élément f de hA(B), on est en mesure d'écrire :

T(g)\left[\psi_v(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi_v(C)(g.f)

Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par hA(g). Donc, l'identité obtenue se réécrit :

T(g)\left[\psi_v(B)(f)\right]=\psi_v(C)\left[h_A(g)(f)\right]

En faisant varier f :

T(g)\circ \psi_v(B)=\psi_v(C)\circ h_A(g)

Cela étant vérifié pour toute flèche g, ψv est bien un foncteur de hA sur T et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).

Théorème des modèles acycliques

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