Lemme de van der corput

Lemme de van der corput

Lemme de van der Corput

Il existe dans la littérature des mathématiques de nombreux lemmes de Van der Corput. Nous en présentons ici deux.

En analyse complexe

Soient k \geq 1 entier, et f \in C^{k} ([a,b]) telle qu'il existe un nombre λk > 0 tel que, pour tout réel x \in [a,b], on ait f^{(k)} (x) \geq \lambda_k. Alors on a :

\left | \int_{a}^{b} e^{i f(t)} \, dt \right | \leq \frac {c_k}{\lambda_k^{1/k}}

pour une certaine constante ck > 0.

En théorie des nombres

Soient N \geq 1 un entier (grand) et f \in C^2 ([N,2N]) telle qu'il existe un réel λ2 > 0 et des nombres 0 < c1 < c2 tels que, pour tout réel x \in [N,2N], on ait c_1 \lambda_2 \leq f''(x) \leq c_2 \lambda_2. On note e(x) = e2iπx. Alors on a :

\left | \sum_{N < n \leq 2N} e (f(n)) \right | \ll N \lambda_2^{1/2} + \lambda_2^{-1/2}.

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