- Lemme d'Artin-Rees
-
Le lemme d'Artin-Rees (aussi connu sous le nom du Théorème d'Artin-Rees (en)) est un théorème d'algèbre commutative, qui sert notamment à démontrer la propriété de platitude de la complétion (en) des modules de type fini sur un anneau noethérien. Le théorème d'intersection de Krull s'en déduit.
Sommaire
Énoncés
Le lemme s'énonce comme suit.
Lemme d'Artin-Rees — Soient A un anneau commutatif noethérien, I un idéal de A, M un A-module de type fini, et N un sous-module de M. Alors il existe un entier k tel que
pour tout n≥k.On en déduit le théorème suivant.
Théorème d'intersection de Krull — Soient A un anneau commutatif noethérien, I un idéal de A, et M un A-module de type fini. Alors l'intersection
est égale à l'ensemble des
tels que 
pour un certain 
. De plus, il existe un tel α indépendant de ces x.Corollaires
Les deux corollaires suivants se déduisent immédiatement, respectivement, du lemme d'Artin-Rees et du théorème d'intersection de Krull.
Corollaire 1 — Soient A un anneau commutatif noethérien et I, J deux idéaux de A. Alors il existe un entier h tel que
Corollaire 2 — Soient A un anneau commutatif noethérien et I un idéal de A. Alors l'intersection
est nulle si et seulement si aucun élément de 1+I n'est diviseur de zéro dans A.
En particulier,
- si I est contenu dans le radical de Jacobson de A alors l'intersection est nulle ;
- lorsque A est intègre, l'intersection est nulle si et seulement si I est un idéal propre (c'est-à-dire distinct de A).
Démonstrations
Démonstration du lemme
La démonstration ci-dessous s'inspire de Lang (cf #Références).
Dans l'anneau de polynômes A[X], considérons la sous-A-algèbre
Comme I est un idéal de type fini de A, B est une A-algèbre de type fini. C'est donc un anneau noethérien.
Notons
![M_X=A[X]\otimes_AM=\oplus_{n\in\N}X^nM,](a/a8a0b19a64cef3df25cc776f7b5c329d.png)
et définissons de même NX. Ainsi, NX est un sous-A[X]-module de MX, en particulier un sous-B-module.
Définissons un autre sous-B-module de MX :
Comme M est un A-module de type fini,
est un B-module de type fini, donc noethérien. Le sous-B-module 
est donc engendré par un nombre fini de vecteurs. Soit k un entier majorant le degré en X de tous ces vecteurs. Alors,d'où, pour tout
,ce qui donne l'inclusion dans un sens. Celle dans l'autre est immédiate.
Démonstration du théorème
Notons
. Si un vecteur x de M est tel qu'il existe un élément α de I pour lequel (1-α)x=0 alors x=αnx pour tout entier n>0, donc x appartient à N. Pour la réciproque, remarquons que d'après le lemme, N=IN. Le lemme de Nakayama permet de conclure.Références
- (en) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, § 5.1 et § 5.3.
- (fr) Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chapitre VI, exercices 2 et 3
- (fr) Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chapitre III, § 3
- (en) O. Zariski et P. Samuel, Commutative algebra, vol. I, ch. IV, § 7
Catégories :- Algèbre commutative
- Lemme de mathématiques
Wikimedia Foundation. 2010.
