Lemme de Nakayama

Lemme de Nakayama

Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative. Il doit son origine à T. Nakayama, G. Azumaya et Wolfgang Krull.

Sommaire

Énoncés

Un énoncé général est le suivant :

Lemme de Nakayama (cas général) — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini, I un idéal de A, et N un sous-A-module de M tel que M\subset IM+N. Alors il existe un élément a de I tel que (1+a)M\subset N.

La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme :

Lemme de Nakayama (cas particulier) — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et I un idéal de A tel que M\subset IM. Alors il existe un élément a de I tel que (1+a)M=0\,.

Le corollaire suivant est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » :

Corollaire — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et I le radical de Jacobson de A. Si M\subset IM alors M=0\,.

(En effet, dans ce cas, 1 + a est inversible.)

Démonstrations

Cas particulier

Soit (x_1,\ldots,x_n) une famille génératrice de M. Il existe des y_{i,j}\in I tels que pour tout i, x_i=\sum_{j=1}^n y_{i,j}x_j. En notant Y la matrice des yi,j et d le déterminant de In − Y, on en déduit que dM=(0) (car tous les dxj sont nuls, d'après la formule de Laplace). Or (en développant le déterminant) d appartient à 1+I.

Cas général

Le sous-module N'=M\cap N vérifie encore M\subset IM+N', autrement dit M/N'\subset I(M/N'). Il suffit alors d'appliquer le cas particulier précédent.



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme de Nakayama de Wikipédia en français (auteurs)

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